Question

На числовой прямой даны два отрезка: C=[10;41] и D=[20;95]. Отрезок A таков, что формула (x∈D)→((x∈C)→(x∈A)) истинна при любом значении переменной x. Какова наименьшая возможная длина отрезка A?

Answer 1

Ответ:

(см. объяснение)

Объяснение:

$(x\in D)\rightarrow((x\in C)\rightarrow(x\in A))=(x\notin D)\vee(x\notin C)\vee(x\in A)$

Тогда:

(см. прикрепленный файл)

Получили, что $A=[20;\;41]$.

Поэтому ответом будет $41-20=21$.

Задание выполнено!

Комментарий:

Можно (и несложно), конечно, было решить это задание программным методом (все-таки предмет информатика), но по-моему здесь куда более простое аналитическое решение.

На всякий случай вот рабочий код:

##

var r: integer := 1001;

for b: integer := 10 to 95 do

 for e: integer := b+1 to 95 do

 begin

   var f: integer := 1;

   for x: integer := 1 to 1000 do

     if(((x in [20..95])<=((x in [10..41])<=(x in [b..e])))=false)

       then f:= 0;

   if((f=1) and (r>e-b))

       then r:= e-b;

 end;

print(r);

Answer 2

Для определения наименьшей возможной длины отрезка A, мы должны понять, при каких значениях переменной x формула (x∈D)→((x∈C)→(x∈A)) истинна.

Исходно у нас есть два отрезка:

• C = [10;41]
• D = [20;95]

Из условия задачи нам известно, что формула (x∈D)→((x∈C)→(x∈A)) истинна при любом значении переменной x. Это означает, что формула истинна как для значений x, которые принадлежат отрезку D, так и для значений x, которые не принадлежат отрезку D.

Сначала рассмотрим случай, когда x принадлежит отрезку D, то есть x∈D. В этом случае формула (x∈D)→((x∈C)→(x∈A)) также истинна. Это означает, что любое значение x из отрезка D должно удовлетворять условию (x∈C)→(x∈A), иначе формула не была бы истинной.

Теперь давайте рассмотрим случай, когда x не принадлежит отрезку D, то есть x∉D. В этом случае формула (x∈D)→((x∈C)→(x∈A)) также истинна. Это означает, что для значений x, которые не принадлежат отрезку D, условие (x∈D) не важно, и формула сокращается до ((x∈C)→(x∈A)).

Теперь давайте анализировать условие (x∈C)→(x∈A). Нам нужно, чтобы любое значение x, которое принадлежит отрезку C, также принадлежало бы отрезку A. Это означает, что отрезок A должен содержать в себе всю длину отрезка C, чтобы удовлетворить данному условию.

Отрезок C = [10;41] имеет длину 41 - 10 = 31.

Таким образом, наименьшая возможная длина отрезка A равна 31.