Question

Определить линейную зависимость или линейную независимость строк прямоугольной матрицы, используя свойства отрезков. На вход подаются число строк, их длина и сами строки вводимые построчно. На выходе программа выводит число линейно независимых строк и номер линейно зависимых строк ( вывести все возможные комбинации) Python

Answer 1

Ответ:

Линейной комбинацией строк s1, s2, ..., sl матрицы A называется выражение

α1s1 + α2s2 + ... + αlsl

Answer 2

Определение линейной зависимости и линейной независимости строк прямоугольной матрицы

Для определения линейной зависимости и линейной независимости строк прямоугольной матрицы можно использовать свойства отрезков.

Линейная зависимость строк означает, что одна или несколько строк матрицы могут быть выражены как линейная комбинация других строк. В таком случае, существует ненулевой набор коэффициентов, таких что линейная комбинация строк равна нулевой строке.

Линейная независимость строк означает, что ни одна строка матрицы не может быть выражена как линейная комбинация других строк. В таком случае, ни один набор коэффициентов не может сделать линейную комбинацию строк равной нулевой строке.

Чтобы определить линейную зависимость и линейную независимость строк прямоугольной матрицы, можно воспользоваться алгоритмом Гаусса-Жордана или методом Гаусса. Эти методы позволяют привести матрицу к ступенчатому виду или к улучшенному ступенчатому виду, где можно легко определить линейную зависимость и линейную независимость строк.

Пример решения на Python

def linear_independence(matrix):
    num_rows = len(matrix)
    num_cols = len(matrix[0])

pivot_columns = []
    dependent_rows = []

for col in range(num_cols):
        for row in range(len(pivot_columns), num_rows):
            if matrix[row][col] != 0:
                pivot_columns.append(col)
                break

for row in range(num_rows):
        if row not in dependent_rows:
            for other_row in range(row + 1, num_rows):
                if other_row not in dependent_rows:
                    coefficients = [matrix[other_row][col] / matrix[row][col] for col in pivot_columns]
                    is_dependent = all(matrix[row][col] * coefficient == matrix[other_row][col] for col, coefficient in zip(pivot_columns, coefficients))
                    if is_dependent:
                        dependent_rows.append(other_row)

independent_rows = [row for row in range(num_rows) if row not in dependent_rows]

return len(independent_rows), dependent_rows

# Пример использования
num_rows = int(input("Введите количество строк: "))
matrix = []
for _ in range(num_rows):
    row = input("Введите строку матрицы: ").split()
    matrix.append([int(x) for x in row])

independent_count, dependent_rows = linear_independence(matrix)
print("Число линейно независимых строк:", independent_count)
print("Номера линейно зависимых строк:", dependent_rows)

Обратите внимание: Это пример решения на Python, который использует ввод данных с клавиатуры. Вы можете адаптировать его под свои потребности, например, читать данные из файла или использовать другие способы ввода.

Примечание: Предоставленный код является примером и может потребовать доработки или оптимизации в зависимости от конкретных требований и условий задачи.