Question

Составить программу, вычисляющую заданный интеграл по формуле Гаусса. Составить программу-функцию для вычисления значений подъинтегральной функции. Составить головную программу, содержащую обращение к вычислительным процедурам и осуществляющую печать результатов. Вычислить абсолютную и относительную погрешность. интеграл от 0 до 1  x(1-x)^2 dxПрограммы составлять на Паскале

Answer 1

Const
  {константы десятиточечного метода Гаусса}
  g10c1 = 0.9739065285 / 6.2012983932;
  g10c2 = 0.8650633667 / 6.2012983932;
  g10c3 = 0.6794095683 / 6.2012983932;
  g10c4 = 0.4333953941 / 6.2012983932;
  g10c5 = 0.1488743390 / 6.2012983932;
  g10x1 = 0.0666713443 / 6.2012983932;
  g10x2 = 0.1494513492 / 6.2012983932;
  g10x3 = 0.2190863625 / 6.2012983932;
  g10x4 = 0.2692667193 / 6.2012983932;
  g10x5 = 0.2955242247 / 6.2012983932;

function f(x: real): real;
begin
  f := x * sqr(1 - x)
end;

function gsc(a, b: real): real;
{получение суммы для метода Гаусса}
var
  p, q, s, s1, s2, s3, s4, s5: real;
begin
  p := (b + a) / 2; q := (b - a) / 2;
  s1 := g10c1 * (f(p + q * g10x1) + f(p - q * g10x1));
  s2 := g10c2 * (f(p + q * g10x2) + f(p - q * g10x2));
  s3 := g10c3 * (f(p + q * g10x3) + f(p - q * g10x3));
  s4 := g10c4 * (f(p + q * g10x4) + f(p - q * g10x4));
  s5 := g10c5 * (f(p + q * g10x5) + f(p - q * g10x5));
  s := s1 + s2 + s3 + s4 + s5;
  Result := s * (b - a)
end;

function Gauss(a, b, eps, gs: real): real;
{рекурсивная ф-ция подсчета с заданной точностью eps}
{gs - интеграл на (a,b), получать заранее}
var
  m, ia, ib: real;
begin
  m := (a + b) / 2;
  ia := gsc(a, m);
  ib := gsc(m, b);
  if abs(ia + ib - gs) > eps then
  begin
    ia := gauss(a, m, eps / 2, ia); {рекурсия для первой половинки}
    ib := gauss(m, b, eps / 2, ib){рекурсия для второй половинки}
  end;
  Result := ia + ib
end;

function Intg(a, b, eps: real): real;
begin
  Result := Gauss(a, b, eps, gsc(a, b));
end;

var
  a, b, eps, y1, y2: real;

begin
  a := 0;
  b := 1;
  eps := 1e-6;
  y1 := Intg(a, b, eps);
  y2:=sqr(b)*(sqr(b)/4-2*b/3+0.5);
  writeln('Значение интеграла по методу Гаусса: ', y1:0:8);
  writeln('Значение интеграла по формуле: ', y2:0:8);
  writeln('Абсолютная погрешность составляет: ', abs(y2-y1):0:8);
  writeln('Относительная погрешность составляет: ', abs((y2-y1)/y1)*100:0:6,'%');
end.

Тестовое решение:

Значение интеграла по методу Гаусса: 0.08333337
Значение интеграла по формуле: 0.08333333
Абсолютная погрешность составляет: 0.00000004
Относительная погрешность составляет: 0.000044%

Answer 2

Конечно, я могу помочь вам составить программу для вычисления заданного интеграла по формуле Гаусса на языке Паскаль. Вот пример программы, которая решает вашу задачу:

pascalCopy code
program GaussianIntegration;

const
  N = 5; // Количество узлов интегрирования

type
  TFunc = function(x: Real): Real;

function SubIntegrand(x: Real): Real;
begin
  Result := x * Power(1 - x, 2);
end;

function GaussianQuadrature(func: TFunc): Real;
const
  Nodes: array[1..5] of Real = (
    -0.9061798459,
    -0.5384693101,
    0.0,
    0.5384693101,
    0.9061798459
  );
  Weights: array[1..5] of Real = (
    0.2369268850,
    0.4786286705,
    0.5688888889,
    0.4786286705,
    0.2369268850
  );
var
  i: Integer;
  sum: Real;
begin
  sum := 0;
  for i := 1 to N do
    sum := sum + Weights[i] * func((1 + Nodes[i]) / 2);
  Result := sum / 2;
end;

var
  result, exactResult, absoluteError, relativeError: Real;
begin
  result := GaussianQuadrature(SubIntegrand);
  
  // Вычисление точного значения интеграла
  exactResult := 1 / 90;
  
  // Вычисление абсолютной и относительной погрешностей
  absoluteError := abs(exactResult - result);
  relativeError := absoluteError / exactResult;
  
  // Вывод результатов
  writeln('Вычисленное значение: ', result);
  writeln('Точное значение: ', exactResult);
  writeln('Абсолютная погрешность: ', absoluteError);
  writeln('Относительная погрешность: ', relativeError);
end.

В этой программе мы определяем подынтегральную функцию SubIntegrand, а также функцию GaussianQuadrature, которая использует формулу Гаусса для вычисления интеграла. В главной программе мы вызываем GaussianQuadrature с подынтегральной функцией SubIntegrand, а затем вычисляем точное значение интеграла и погрешности.

Вы можете запустить эту программу на любой среде разработки, поддерживающей язык Паскаль. Она вычислит заданный интеграл, а также выведет значения абсолютной и относительной погрешности.