Question

На каких гелиоцентрических (т.е. от Солнца) расстояниях скорость Меркурия равна 40 км/с и 50 км/с? Большая полуось орбиты равна 0,387 а.е.​

Answer 1

Ответ:

При скорости Меркурия 40 км/с его удаление от Солнца  ≈

≈ 68193788 км.

При скорости Меркурия 50 км/с его удаление от Солнца ≈

≈ 55387153 км

Объяснение:   Дано:

Большая полуось орбиты Меркурия А = 0,387 а.е. =

= 0,387*1,496*10^11 м

Орбитальная скорость Меркурия V1 = 40 км/с = 4*10^4 м/с

Орбитальная скорость Меркурия V2 = 50 км/с = 5*10^4 м/с

Масса Солнца Мс = 1,9885*10^30 кг

Гравитационная постоянная  G = 6,6743*10^-11 м³/кг*с²

Найти гелиоцентрические расстояния до точек с указанными скоростями  S1 - ? и  S2 - ?

В общем случае орбитальная скорость спутника, в зависимости от величины центральной массы (М), от величины большой полуоси орбиты (А) и расстояния от спутника до центральной массы (S), определяется выражением: V = √G*M*{(2/S) – (1/A)}  

Из этого выражения, в общем случае S = 2G*M*А/(АV² + G*M)  

Тогда в нашем случае S1 = 2G*Mс*А/(АV1² + G*M)  =

= 2*6,6743*10^-11*1,9885*10^30*0,387*1,496*10^11/  {0,387*1,496*10^11*( 4*10^4)² + 6,6743*10^-11*1,9885*10^30} =

=  681788175,9 м  ≈  68193788 км.

                                   S2 = 2G*Mс*А/(АV2² + G*M) =

= 2*6,6743*10^-11*1,9885*10^30*0,387*1,496*10^11/

{0,387*1,496*10^11*( 5*10^4) ² + 6,6743*10^-11*1,9885*10^30} =

= 55387152632,8 м ≈ 55387153 км

Answer 2

Для расчета скорости планеты на различных расстояниях от Солнца можно использовать законы Кеплера и законы сохранения энергии.

Сначала рассмотрим закон сохранения энергии:

\[E = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{GMm}{r},\]

где: - \(E\) - полная механическая энергия, - \(m\) - масса планеты, - \(v\) - скорость планеты, - \(G\) - гравитационная постоянная, - \(M\) - масса Солнца, - \(r\) - расстояние между центром планеты и центром Солнца.

При движении по орбите полная механическая энергия остается постоянной. При \(r_1\) (перицентр, наименьшее расстояние от Солнца) и \(r_2\) (апоцентр, наибольшее расстояние от Солнца):

\[E = \frac{1}{2}m(v_1^2 - v_2^2) - \frac{GMm}{r_1} + \frac{GMm}{r_2}.\]

Так как \(E\) постоянно, мы можем установить равенство между \(E\) на различных орбитах:

\[\frac{1}{2}m(v_1^2 - v_2^2) - \frac{GMm}{r_1} + \frac{GMm}{r_2} = const.\]

Теперь давайте подставим значения. Поскольку \(v_1\) и \(v_2\) - это скорости на перицентре и апоцентре соответственно, мы можем использовать закон сохранения энергии для орбиты:

\[E = \frac{1}{2}mv_1^2 - \frac{GMm}{r_1}.\]

Теперь давайте подставим значения и решим уравнение для \(v_1\) (скорость на перицентре):

\[\frac{1}{2}m(v_1^2 - v_2^2) - \frac{GMm}{r_1} + \frac{GMm}{r_2} = \frac{1}{2}mv_1^2 - \frac{GMm}{r_1}.\]

Сокращаем массу \(m\) и умножаем все на 2:

\[v_1^2 - v_2^2 + \frac{2GM}{r_1} - \frac{2GM}{r_2} = v_1^2 - \frac{2GM}{r_1}.\]

Теперь сокращаем \(v_1^2\):

\[-v_2^2 + \frac{2GM}{r_1} - \frac{2GM}{r_2} = - \frac{2GM}{r_1}.\]

Теперь складываем \(\frac{2GM}{r_1}\) с обеих сторон уравнения и делим на 2:

\[v_2^2 = \frac{2GM}{r_2} + \frac{2GM}{r_1}.\]

Теперь мы можем подставить значения:

\[v_2^2 = \frac{2 \times 6.674 \times 10^{-11} \times 1.989 \times 10^{30}}{0.387 \times 1.496 \times 10^{11}} + \frac{2 \times 6.674 \times 10^{-11} \times 1.989 \times 10^{30}}{1.496 \times 10^{11}}.\]

\[v_2^2 \approx 7.783 \times 10^6 + 5.239 \times 10^5.\]

\[v_2^2 \approx 8.307 \times 10^6 \ m^2/s^2.\]

Теперь берем корень и получаем скорость \(v_2\):

\[v_2 \approx \sqrt{8.307 \times 10^6} \ m/s.\]

\[v_2 \approx 2880 \ m/s.\]

Таким образом, скорость Меркурия на апоцентре (расстояние 1 а.е.) примерно равна \(2880 \ m/s\).

Аналогично, можно рассчитать скорость на перицентре (расстояние 0,387 а.е.):

\[v_1^2 = \frac{2 \times 6.674 \times 10^{-11} \times 1.989 \times 10^{30}}{0.387 \times 1.496 \times 10^{11}} + \frac{2 \times 6.674 \times 10^{-11} \times 1.989 \times 10^{30}}{1.496 \times 10^{11}}.\]

\[v_1^2 \approx 7.783 \times 10^7 + 5.239 \times 10^6.\]

\[v_1^2 \approx 8.307 \times 10^7 \ m^2/s^2.\]

\[v_1 \approx \sqrt{8.307 \times 10^7} \ m/s.\]

\[v_1 \approx 9110 \ m/s.\]

Таким образом, скорость Меркурия на перицентре (расстояние 0,387 а.е.) примерно равна \(9110 \ m/s\).