Question

Известно, что высота однородной атмосферы одной из планет h=20 км при средней плотности атмосферы rho=4 кг/м3. Средняя плотность вещества самой планеты в n=600 раз больше плотности атмосферы, а радиус планеты R=8000 км. Во сколько раз масса атмосферы меньше массы этой планеты? Высота однородной атмосферы – это толщина условной атмосферы, имеющей всюду ту же температуру и плотность, что имеет реальная атмосфера у поверхности планеты, и такую же массу.

Answer 1

Ответ:   Масса атмосферы меньше массы самой планеты (без атмосферы) в 79800,33

Масса атмосферы меньше массы планеты с атмосферой в 79801,33

Отношение масс дано для двух случаев. Но, вероятно, под массой планеты следует понимать массу самой планеты вместе с атмосферой.

Объяснение:   Дано

Высота однородной атмосферы h=20 км

Средняя плотность атмосферы rho=4 кг/м3

Средняя плотность вещества планеты  больше плотности атмосферы в n=600 раз.

Радиус планеты R=8000 км

Во сколько раз масса атмосферы меньше массы планеты?

   Найдем объемы планеты и атмосферы.  Объем планеты вместе с атмосферой Vп+а = 4π(R+h)³/3. Объем планеты без атмосферы Vп = 4πR³/3.  Разность этих объемов будет равна объему атмосферы, т.е. Vа = Vп+а – Vп = {4π(R+h)³/3} - 4πR³/3 = 4π{(R+h)³- R³}/3.

Теперь найдем массы атмосферы и планеты.

Масса атмосферы Ма = rho*Vа = 4*4π{(R+h)³- R³}/3.

Масса планеты без атмосферы  Мп = n*rho*Vп = 600*4*4πR³/3.

Масса планеты с атмосферой  Мп+а = Мп + Ма = n*rho*Vп + rho*Vа = {600*4*4πR³/3}+[4*4π{(R+h)³- R³]/3 =  4*4π*{(R+h)³ +599R³}/3

Разделим массу планеты без атмосферы на массу атмосферы  Мп/Ма = {600*4*4πR³/3}/[4*4π {(R+h)³- (R)³}/3] = 600*R³/{(R+h)³- R³}.  Подставив числовые значения, имеем: 600*R³/{(R+h)³- R³} = 600*8000³/{(8000+20)³- 8000³} = 79800,33 . Таким образом, масса атмосферы меньше массы самой планеты (без атмосферы) в 79800,33 раза

Теперь разделим массу планеты с атмосферой на массу атмосферы. Имеем Мп+а/Ма = [4*4π*{(R+h)³ +599R³}/3]/[4*4π{(R+h)³- R³}/3] = {(R+h)³ +599R³}/(R+h)³- R³ = 79801,33. Таким образом, масса атмосферы меньше массы планеты с атмосферой в 79801,33

Answer 2

Для определения, во сколько раз масса атмосферы меньше массы планеты, мы можем воспользоваться формулой для массы атмосферы:

$M_{\text{атмосфера}} = \rho \cdot V_{\text{атмосфера}}$

где:

• $M_{\text{атмосфера}}$ - масса атмосферы,
• $\rho$ - плотность атмосферы,
• $V_{\text{атмосфера}}$ - объем атмосферы.

Объем атмосферы можно выразить через объем планеты, так как высота атмосферы известна:

$V_{\text{атмосфера}} = \frac{4}{3} \pi R^3_{\text{планеты}} - \frac{4}{3} \pi (R_{\text{планеты}} - h)^3$

где:

• $R_{\text{планеты}}$ - радиус планеты,
• $h$ - высота атмосферы.

Теперь мы знаем, что средняя плотность вещества планеты ($\rho_{\text{планеты}}$) в n=600 раз больше плотности атмосферы ($\rho$). То есть:

$\rho_{\text{планеты}} = n \cdot \rho$

Теперь мы можем выразить массу планеты ($M_{\text{планеты}}$) через плотность планеты и объем планеты:

$M_{\text{планеты}} = \rho_{\text{планеты}} \cdot V_{\text{планеты}}$

где:

• $V_{\text{планеты}}$ - объем планеты.

Объем планеты известен:

$V_{\text{планеты}} = \frac{4}{3} \pi R^3_{\text{планеты}}$

Теперь, чтобы найти во сколько раз масса атмосферы меньше массы планеты, нужно поделить $M_{\text{атмосфера}}$ на $M_{\text{планеты}}$:

$\text{Ответ} = \frac{M_{\text{атмосфера}}}{M_{\text{планеты}}}$

Подставим все выражения и числа:

$\text{Ответ} = \frac{\rho \cdot V_{\text{атмосфера}}}{\rho_{\text{планеты}} \cdot V_{\text{планеты}}}$

$\text{Ответ} = \frac{\rho \cdot \left(\frac{4}{3} \pi R^3_{\text{планеты}} - \frac{4}{3} \pi (R_{\text{планеты}} - h)^3\right)}{\rho_{\text{планеты}} \cdot \frac{4}{3} \pi R^3_{\text{планеты}}}$

Теперь подставим значения: $h=20$ км, $\rho=4$ кг/м³, $n=600$, $R_{\text{планеты}}=8000$ км:

$\text{Ответ} = \frac{4 \, \text{кг/м³} \cdot \left(\frac{4}{3} \pi (8000 \, \text{км})^3 - \frac{4}{3} \pi (8000 \, \text{км} - 20 \, \text{км})^3\right)}{600 \cdot 4 \, \text{кг/м³} \cdot \frac{4}{3} \pi (8000 \, \text{км})^3}$

Теперь вычислим это значение:

$\text{Ответ} \approx 0.997$

Итак, масса атмосферы этой планеты меньше массы самой планеты всего на около 0.997 раза, что можно приближенно округлить до 1. Таким образом, масса атмосферы этой планеты практически равна массе самой планеты.