Question

Известно, что высота однородной атмосферы одной из планет h=100h=100 км при средней плотности атмосферы rho=8rho=8 кг/м33. Средняя плотность вещества самой планеты в n=500n=500 раз больше плотности атмосферы, а радиус планеты R=6000R=6000 км. Во сколько раз масса атмосферы меньше массы этой планеты? Высота однородной атмосферы —— это толщина условной атмосферы, имеющей всюду ту же температуру и плотность, что имеет реальная атмосфера у поверхности планеты, и такую же массу. ​

Answer 1

Ответ:   Масса атмосферы меньше массы самой планеты (без атмосферы) в 9835,17

Масса атмосферы меньше массы планеты с атмосферой в 9836,17

Отношение масс дано для двух случаев. Но, вероятно, под массой планеты следует понимать массу самой планеты вместе с атмосферой.

Объяснение:   Дано:

Высота однородной атмосферы h=100 км

Средняя плотность атмосферы rho=8 кг/м3

Средняя плотность вещества планеты  больше плотности атмосферы в n=500 раз.

Радиус планеты R=6000 км

Во сколько раз масса атмосферы меньше массы планеты?

 Найдем объемы планеты и атмосферы.  Объем планеты вместе с атмосферой Vп+а = 4π(R+h)³/3. Объем планеты без атмосферы Vп = 4πR³/3.  Разность этих объемов будет равна объему атмосферы, т.е. Vа = Vп+а – Vп = {4π(R+h)³/3} - 4πR³/3 = 4π{(R+h)³- R³}/3.

Теперь найдем массы атмосферы и планеты.

Масса атмосферы Ма = rho*Vа = 8*4π{(R+h)³- R³}/3.

Масса планеты без атмосферы  Мп = n*rho*Vп = 500*8*4πR³/3.

Масса планеты с атмосферой  Мп+а = Мп + Ма = n*rho*Vп + rho*Vа = {500*8*4πR³/3}+[8*4π{(R+h)³- R³]/3 =  8*4π*{(R+h)³ +499R³}/3

Разделим массу планеты без атмосферы на массу атмосферы  Мп/Ма = {500*8*4πR³/3}/[8*4π {(R+h)³- (R)³}/3] = 500*R³/{(R+h)³- R³}.  Подставив числовые значения, имеем: 500*R³/{(R+h)³- R³} = 500*6000³/{(6000+100)³- 6000³} = 9835,17 . Таким образом, масса атмосферы меньше массы самой планеты (без атмосферы) в 9835,17

Теперь разделим массу планеты с атмосферой на массу атмосферы. Имеем Мп+а/Ма = [8*4π*{(R+h)³ +499R³}/3]/[8*4π{(R+h)³- R³}/3] = {(R+h)³ +499R³}/(R+h)³- R³ = 9836,17. Таким образом, масса атмосферы меньше массы планеты с атмосферой в 9836,17

Answer 2

Масса атмосферы можно рассчитать, умножив объем атмосферы на ее плотность.

Объем атмосферы можно найти, умножив площадь основания атмосферы на ее высоту.

Площадь основания атмосферы равна площади поверхности планеты, которую можно найти по формуле площади сферы: S=4πr^2.

Таким образом, объем атмосферы равен V=4πr^2h.

Массу атмосферы можно рассчитать, умножив объем атмосферы на плотность атмосферы: M=Vρ.

Дано, что плотность вещества самой планеты n=500 раз больше плотности атмосферы: ρ_планеты=nρ_атмосферы=500*8=4000 кг/м^3.

Теперь можем рассчитать массу планеты и массу атмосферы.

Масса планеты: M_планеты=(4πr^2ρ_планеты)/3.

Масса атмосферы: M_атмосферы=(4πr^2ρ_атмосферыh)/3.

Искомую величину, во сколько раз масса атмосферы меньше массы планеты, можно найти, разделив массу планеты на массу атмосферы:

M_планеты/M_атмосферы=((4πr^2ρ_планеты)/3) / ((4πr^2ρ_атмосферыh)/3).

Сокращая общие части, получаем:

M_планеты/M_атмосферы=(ρ_планеты/ρ_атмосферы)/h.

Подставим значения:

M_планеты/M_атмосферы=(4000 кг/м^3 / 8 кг/м^3) / 100 км.

Сокращаем единицы измерения:

M_планеты/M_атмосферы=500 / 100.

M_планеты/M_атмосферы=5.

Таким образом, масса атмосферы в 5 раз меньше массы этой планеты.