Question

У скільки разів відрізняються світності двох зір однакового кольору, якщо радіус однієї з них більший у 15 разів?

Answer 1

Ответ:   В общем случае светимость звезды зависит от четвертой степени температуры её фотосферы и от площади поверхности звезды. Так как звезды имеют форму близкую к сферической, то площадь поверхности звезды пропорциональна квадрату радиуса звезды.

По условию звезды имеют одинаковый цвет. Это указывает на то, что температуры звезд примерно одинаковые.  Таким образом, разность светимостей звезд будет определяться только разностью площадей поверхности звезд.  Поскольку площадь звезды пропорциональна квадрату радиуса, то соотношение площадей звезд будет определяться выражением:   (R2/R1)².  

Так как по условию R2 > R1 в 15 раз, то (R2/R1)² = 15² = 225. Следовательно, площадь поверхности второй звезды в 225 раз больше площади поверхности звезды первой.  Таким образом, светимость второй звезды будет больше светимости первой звезды в 225 раз.

Answer 2

Світність зір залежить від їхньої поверхневої температури і площі поверхні. Однак, якщо ми припустимо, що зірки мають однакову температуру і їхні площі поверхні пропорційні квадратам їхніх радіусів (що можна апроксимувати якісно), тоді ми можемо порівняти їхні світності.

Нехай маса зір однакова (що дозволяє нам вважати однакову температуру) і нехай радіус однієї зірки дорівнює R, а іншої - 15R.

Світність зір пропорційна квадрату радіусу згідно з законом Стефана-Больцмана: $F \propto R^2$

Тепер порівняємо світність двох зір:

$$\frac{F_1}{F_2} = \frac{R_1^2}{R_2^2} = \frac{R^2}{(15R)^2} = \frac{1}{225}$$

Таким чином, світність однієї зірки в 225 разів більша, ніж світність іншої зірки (якщо припустити, що температура та інші фізичні властивості зір однакові).