Question

1.Определить высоту светила Бетельгейзе (δ=+7°24’) в верхней и нижней кульминации на географической широте φ=2°14’. 2.На какое расстояние к Земле подлетит астероид Икар, если его горизонтальный параллакс в это время будет равен 18’’. Результат выразить в а.е.3.Найти расстояние от Земли до звезды Процион, если ее годичный параллакс равен 0,297’’. Результат выразить в парсеках и св.годах.4.Эксцентриситет орбиты Меркурия равен 0,2056, а период обращения вокруг Солнца – 88 земных суток. Найти большую полуось орбиты Меркурия, перигельное и афельное расстояние

Answer 1

1.

Дано:

δ = 7°24' = 7,4°

φ = 2°14' = 2,23°

-----------------------------

Найти:

hв - ?

hн - ?

Решение:

Используем формулы для нахождения высоты верхней и нижней кульминаций:

(1) hв = 90° - φ + δ - верхняя кульминация

(2) hн = δ - (90° - φ) - нижняя кульминация

Теперь мы их находим:

hв = 90° - 2,23° + 7,4° = 95,17‬° = 95°10'12"

hн = 7,4° - (90°- 2,23°) = 7,4° - 87,77° = -80,37° = -80°22'12"

Ответ: hв = 95°10'12" ; hн = -80°22'12"

2.

Дано:

p = 18"

R⊕ = 6371 км

-----------------------

Найти:

D - ?

Решение:

Расстояния от земли до другой планеты (или астероида) в солнечной системе определяется по формуле:

D = 206265"/p × R⊕

Теперь про помощи этой формулы мы находим расстояние от Земли до астероида Икар:

D = 206265"/18" × 6371 км ≈ 11459,17 × 6371 км ≈ 73006372,07‬‬ км

Известно что на Земле 1 а.е. = 149597870 км, следовательно мы найдем  расстояние от Земли до астероида Икара в астрономических единицах (а.е.):

D = ‬73006372,07‬ км/149597870 км ≈ 0,488 а.е. ≈ 0,49 а.е.

Ответ: D = 0,49 а.е.

3.

Дано:

π = 0,297"

-----------------------

Найти:

r - ?

Решение:

Расстояние от Земли до звезды в парсека вычисляется по формуле:

r = 1/π

Теперь мы считаем:

r = 1/0,297" ≈ 3,367 пк ≈ 3,37 пк

Если мы должны получить в световых годах, тогда получается что можно 1 парсек перевести в годы:

1 пк = 3,26 св.годах

Следовательно мы получим:

r = 3,37 × 3,26 св.годах = 10,9862‬ св.годах ≈ 10,99 св.годах

Ответ: r = 3,37 пк ; r = 10,99 св.годах

4.

Дано:

e = 0,2056

T м = 88 земных суток

T⊕ = 1 год

a⊕ = 1 а.е.

---------------------------

Найти:

a м - ?

q - ?

Q - ?

Решение:

1) Воспользуемся сначала формулой по третьей законом Кеплера, что-бы найти  большую полуось орбиты Меркурия:

T м²/T⊕² = a м³/a⊕³

Так как T⊕ = 1 год, и a⊕ = 1 а.е., следовательно мы получим:

a м³ = T м² ⇒ a м = ∛T м²

Далее считаем:

a = ∛88² = ∛7744‬ ≈ 19,78 а.е.  

2) Далее мы находим перигельное и афельное расстояние по таким формулам:

(1) q = a(1-e) - перигельное расстояние

(2) Q = a(1+e) - афельное расстояние

Теперь считаем:

q = 19,78 а.е. × (1-0,2056) = 3,51 а.е. × 0,7944 = 15,713232‬ а.е.

Q = 19,78 а.е. × (1+0,2056) = 3,51 а.е. × 1,2056 = 23,846768‬ а.е.

Ответ: a = 19,78 а.е. ; q = 15,713232 а.е. ; Q = 23,846768 а.е.

Answer 2

Для решения этих задач нам понадобятся следующие формулы:

1. Высота светила над горизонтом: h = φ ± δ

2. Расстояние к астероиду: d = 1 / p

3. Расстояние до звезды в парсеках: d (парсеки) = 1 / p (годичный параллакс)

   Парсек (pc) - это расстояние, на котором звезда имеет годичный параллакс 1 угловая секунда.

   Расстояние до звезды в световых годах: d (св.годы) = d (парсеки) / (3.26156 * 10^7)

4. Большая полуось орбиты Меркурия: a = P^2 / (4π^2 * G * M)

   Перигельное и афельное расстояния: r_perigee = a * (1 - e) r_aphelion = a * (1 + e)

Где:

• φ - географическая широта
• δ - деклинация светила
• p - годичный параллакс
• d - расстояние
• P - период обращения
• G - гравитационная постоянная
• M - масса Солнца
• e - эксцентриситет орбиты

Теперь давайте рассмотрим каждую задачу по отдельности:

1. Высота светила Бетельгейзе: Верхняя кульминация: h = φ + δ = 2°14' + 7°24' = 9°38' Нижняя кульминация: h = φ - δ = 2°14' - 7°24' = -5°10'

2. Расстояние к астероиду Икар: d = 1 / p = 1 / 18'' = 1 / 3600 = 0.00027778 а.е.

3. Расстояние от Земли до звезды Процион: d (парсеки) = 1 / p = 1 / 0.297'' ≈ 3.367 парсек d (св.годы) ≈ 3.367 / (3.26156 * 10^7) ≈ 0.000103 св.года

4. Орбитальные параметры Меркурия: P = 88 земных суток = 88 * 86400 секунд G = 6.67430 * 10^-11 м^3/кг/с^2 (гравитационная постоянная) M = 1.989 * 10^30 кг (масса Солнца) e = 0.2056

   a = P^2 / (4π^2 * G * M) ≈ 5.7909 * 10^10 м r_perigee = a * (1 - e) ≈ 4.6027 * 10^10 м r_aphelion = a * (1 + e) ≈ 6.9791 * 10^10 м

Надеюсь, это поможет вам с решением задач!