Question

Звездный период обращения Меркурия вокруг Солнца составляет 59 земных суток. На основе третьего закона Кеплера определите среднее расстояние Меркурия от Солнца? Записать решение задачи полностью

Answer 1

Дано:

T м = 59 земных суток ≈ 0,162 года

T⊕ = 1 год

a⊕ = 1 а.е.

---------------------------------------------------------

Найти:

a м - ?

Решение:

Воспользуемся по третьему закону Кеплера, что-бы найти среднее расстояние Меркурия от Солнца:

T м²/T⊕² = a м³/a⊕³

Следовательно мы получим:

a м = ∛T м² × a⊕³/T⊕²

Теперь мы решаем:

a м = ∛(0,162 года)² × (1 а.е.)³/(1 года)² = ∛0,026244 года² × 1 а.е.³/1 года² = ∛0,026244 а.е.³ ≈ 0,297 а.е. ≈ 0,3 а.е.

Ответ: a м = 0,3 а.е.

Answer 2

Третий закон Кеплера (закон периодов) утверждает, что отношение куба большой полуоси орбиты планеты к квадрату её периода обращения вокруг Солнца остаётся постоянным для всех планет в Солнечной системе. Математически это можно записать следующим образом:

$$\frac{{a^3}}{{T^2}} = \text{{const}},$$

где:

• $a$ - большая полуось орбиты планеты (среднее расстояние от планеты до Солнца),
• $T$ - период обращения планеты вокруг Солнца.

Мы знаем период обращения Меркурия ($T = 59$ земных суток), и хотим найти среднее расстояние Меркурия от Солнца ($a$).

Давайте подставим известные значения в формулу:

$$\frac{{a^3}}{{T^2}} = \text{{const}}.$$

$$\frac{{a^3}}{{59^2}} = \text{{const}}.$$

Теперь, чтобы найти среднее расстояние $a$, давайте выразим $a^3$:

$$a^3 = 59^2 \times \text{{const}}.$$

Так как константа по определению постоянна для всех планет, давайте обозначим её как $k$:

$$a^3 = 59^2 \times k.$$

Теперь найдем кубический корень от обеих сторон уравнения:

$$a = \sqrt[3]{59^2 \times k}.$$

Таким образом, среднее расстояние Меркурия от Солнца ($a$) можно найти, подставив значение $k$ (константы) и вычислив корень кубический из $59^2 \times k$.

Обратите внимание, что конкретное численное значение для среднего расстояния Меркурия требует знания значения константы $k$, которое обычно измеряется в астрономических единицах. Без значения константы $k$ или дополнительных данных невозможно точно определить численное значение среднего расстояния Меркурия.