Question

Вычислить массу Нептун, зная, что его спутник Нереида совершает оборот вокруг планеты за 358,4 суток, а большая полуось его орбиты – 6212 тыс. км.

Answer 1

Дано:

M⊕ = 1

T л = 27,32 суток

a л = 384×10³ км

T н = 358,4 суток

a н = 6212 тыс. км = 6212×10³ км

-----------------------------------------------------

Найти:

M н - ?

Решение:

Определить массы Нептуна основан на использование третьего закона Кеплера. Из закона всемирного тяготения третий закон выводится в следующей форме:

T н²(M н + m н)/T л²(M⊕ + m л) = a н³/a л³

Далее мы сначала найдем формулу для нахождения массы Нептуна, и потом мы будем считать:

M н/M⊕ = T л²/T н² × a н³/a л³

Следовательно мы получаем:

M н = T л²/T н² × a н³/a л³ × M⊕  ⇒ M н = (T л/T н)² × (a н/a л)³ × M⊕

Теперь считаем:

M н = (27,32 суток/358,4 суток)² × (6212×10³ км/384×10³ км)³ × M⊕ ≈ ( 0,076)² × (16,1771)³ × M⊕ ≈ 0,005776 × 4 233,523846317011 × M⊕ ≈ 24,4528M⊕ ≈ 24,45M⊕

Ответ: Масса Нептуна составляет примерно 24,45 масс Земли.

Answer 2

Для вычисления массы Нептуна по заданным данным нам потребуется воспользоваться третьим законом Кеплера, который связывает период обращения спутника вокруг планеты с параметрами их орбиты.

Третий закон Кеплера формулируется следующим образом: $T^2 = \frac{4\pi^2}{G \cdot (M_1 + M_2)} \cdot a^3,$ где:

• $T$ - период обращения спутника вокруг планеты (в данном случае, Нереиды),
• $G$ - гравитационная постоянная,
• $M_1$ - масса планеты (Нептуна),
• $M_2$ - масса спутника (Нереиды),
• $a$ - большая полуось орбиты спутника.

Мы хотим найти массу Нептуна, $M_1$. Подставим известные значения: $T^2 = \frac{4\pi^2}{G \cdot (M_1 + M_2)} \cdot a^3.$

Так как Нереида обращается вокруг Нептуна, $M_2$ - масса Нереиды, можно считать пренебрежимо малой по сравнению с массой Нептуна, и выразить это как: $T^2 \approx \frac{4\pi^2}{G \cdot M_1} \cdot a^3.$

Теперь можно выразить массу Нептуна: $M_1 = \frac{4\pi^2 \cdot a^3}{G \cdot T^2}.$

Подставляя известные значения: $M_1 = \frac{4\pi^2 \cdot (6212 \, \text{тыс. км})^3}{G \cdot (358.4 \, \text{суток})^2}.$

Не забудьте преобразовать единицы измерения в СИ (например, перевести километры в метры и сутки в секунды) для правильного расчета.

Обратите внимание, что для точного рассчета необходимо использовать значение гравитационной постоянной $G$ в соответствующих единицах измерения.