Question

Вычислить массу Нептун, зная, что его спутник Нереида совершает оборот вокруг планеты за 358,4 суток, а большая полуось его орбиты – 6212 тыс. км.

Answer 1

Дано:

M⊕ = 1

T л = 27,32 суток

a л = 384×10³ км

T н = 358,4 суток

a н = 6212 тыс. км = 6212×10³ км

-----------------------------------------------------

Найти:

M н - ?

Решение:

Определить массы Нептуна основан на использование третьего закона Кеплера. Из закона всемирного тяготения третий закон выводится в следующей форме:

T н²(M н + m н)/T л²(M⊕ + m л) = a н³/a л³

Далее мы сначала найдем формулу для нахождения массы Нептуна, и потом мы будем считать:

M н/M⊕ = T л²/T н² × a н³/a л³

Следовательно мы получаем:

M н = T л²/T н² × a н³/a л³ × M⊕  ⇒ M н = (T л/T н)² × (a н/a л)³ × M⊕

Теперь считаем:

M н = (27,32 суток/358,4 суток)² × (6212×10³ км/384×10³ км)³ × M⊕ ≈ ( 0,076)² × (16,1771)³ × M⊕ ≈ 0,005776 × 4 233,523846317011 × M⊕ ≈ 24,4528M⊕ ≈ 24,45M⊕

Ответ: Масса Нептуна составляет примерно 24,45 масс Земли.

Answer 2

Для вычисления массы Нептуна по данным о его спутнике Нереиде, мы можем использовать третий закон Кеплера и закон всемирного тяготения.

Третий закон Кеплера формулируется следующим образом:

$\frac{T^2}{a^3} = \frac{4\pi^2}{G \cdot M},$

где:

• $T$ - период обращения спутника в секундах (в данном случае, 358.4 суток),
• $a$ - большая полуось орбиты спутника в метрах (в данном случае, 6212000000 м),
• $G$ - гравитационная постоянная ($6.67430 \times 10^{-11}\ \text{м}^3/\text{кг}\cdot\text{с}^2$),
• $M$ - масса Нептуна.

Первым шагом переведем период обращения спутника из суток в секунды:

$T = 358.4 \times 24 \times 60 \times 60 = 30909440\ \text{сек}.$

Теперь подставим значения $T$ и $a$ в уравнение третьего закона Кеплера и выразим массу Нептуна ($M$):

$\frac{(30909440)^2}{(6212000000)^3} = \frac{4\pi^2}{G \cdot M}.$

Решим это уравнение для $M$:

$M = \frac{4\pi^2 \cdot (6212000000)^3}{G \cdot (30909440)^2}.$

Подставим значения констант и рассчитаем массу Нептуна:

$M = \frac{4\pi^2 \cdot (6212000000)^3}{6.67430 \times 10^{-11} \cdot (30909440)^2} \approx 1.025 \times 10^{26}\ \text{кг}.$

Таким образом, масса Нептуна составляет примерно $1.025 \times 10^{26}$ кг.