Question

Вычислить массу Юпитера, зная, что его спутник Амальтея совершает оборот вокруг планеты за 0.498179 суток, а большая полуось его орбиты – 181 тыс. км.

Answer 1

Дано:

M⊕ = 1

T☾ = 27,32 суток

a☾ = 384×10³ км

TА = 0,498179 суток

aA = 181×10³ км

-----------------------------------

Найти:

M♃ - ?

Решение:

Определить массы Юпитера основан на использовании третьего закона Кеплера. Из-за закона всемирного тяготения третий зокон выводится по такой формуле, следователь по такой формуле мы найдем массу Юпитера:

TA²(M♃ + mA)/T☾²(M⊕ + m☾) = aA³/a☾³

M♃/M⊕ = T☾²/TA² × aA³/a☾³

Следовательно мы получим:

M♃ = T☾²/TA² × aA³/a☾³ × M⊕

При помощи получения этой формулы м ы найдем массу Юпитера:

M♃ = (27,32 суток/0,498179 суток)² × (181×10³ км/384×10³ км)³ × 1 ≈ 54,84² × 0,4713542³ × 1 ≈ 3007,4256 × 0,104723 × 1 ≈ 314,9466311088M⊕ ≈ 314,95M⊕

Ответ: M♃ = 314,95M⊕

Answer 2

Для вычисления массы Юпитера по этим данным, мы можем использовать третий закон Кеплера, который связывает период обращения спутника вокруг планеты с параметрами их орбит:

$T^2 = \frac{4\pi^2}{GM} a^3,$

где:

• $T$ - период обращения спутника (в данном случае в сутках),
• $G$ - гравитационная постоянная ($6.67430 \times 10^{-11} \, \text{м}^3 \, \text{кг}^{-1} \, \text{с}^{-2}$),
• $M$ - масса Юпитера,
• $a$ - большая полуось орбиты спутника (в метрах).

Для начала, нужно преобразовать большую полуось орбиты спутника в метры, так как гравитационная постоянная выражена в метрах. Так как 1 км = $1 \times 10^3$ м, то $181 \, \text{тыс. км} = 181 \times 10^3 \, \text{м}$.

Теперь мы можем подставить известные значения в уравнение и решить его относительно массы Юпитера:

$T^2 = \frac{4\pi^2}{GM} a^3 \Rightarrow M = \frac{4\pi^2}{GT^2} a^3.$

Подставив значения $G$, $T$ и $a$, получим:

$M = \frac{4 \times \pi^2}{6.67430 \times 10^{-11} \times (0.498179 \times 86400)^2} \times (181 \times 10^3)^3.$

Вычислив этот выражение, мы получим массу Юпитера в килограммах.