Question

Вычислить массу Юпитера, зная, что его спутник Синопе совершает оборот вокруг планеты за 755 суток, а большая полуось его орбиты – 23700 тыс. км.

Answer 1

Ответ:   Масса Юпитера ≈ 1,85053*10^27 кг

Объяснение:  Дано:

Период обращения спутника Тс = 755 суток = 755*24*60*60 = 65232000 секунд = 6,5232*10^7c.

Большая полуось орбиты спутника Rc = 23700000 км = 2,37*10^10 м

Гравитационная постоянная G = 6,674*10^-11 м³/кг*с²

Найти массу Юпитера   Мю - ?

Так как спутник длительное время вращается вокруг Юпитера, следовательно, его орбитальная скорость равна первой космической скорости для Юпитера на расстоянии орбиты спутника.

Орбитальная скорость (U1)  спутника  равна U1 = L/Tc,  здесь L - длина орбиты спутника,  L = 2πRc.  Тогда U1  = 2πRc/Тс _____ (1)

С другой стороны первая космическая скорость (U1) определяется выражением:                 U1 = √(G*Мю/Rc) ____________(2)

Из уравнения (2) имеем     Мю = U1²*Rc/G.

Подставив в это выражение значение U1 из формулы (1) имеем:

Мю = (2πRc/Тс)²*Rc/G = 4π²Rc³/GТс² =

4π²*(2,37*10^10)³/6,674*10^-11*(6,5232*10^7)² ≈ 1,85053*10^27 кг

Answer 2

Для расчета массы Юпитера по данным о его спутнике Синопе, мы можем воспользоваться третьим законом Кеплера, который устанавливает зависимость между периодом обращения спутника вокруг планеты, большой полуосью орбиты и массой планеты. Формула для этого закона выглядит следующим образом:

\[ T^2 = \frac{4 \pi^2}{G \cdot M} \cdot a^3 \]

где: - \( T \) - период обращения спутника в секундах (в данном случае, 755 суток, что равно 65352000 секунд), - \( G \) - гравитационная постоянная (\( G \approx 6.67430 \times 10^{-11} \ \text{м}^3 \ \text{кг}^{-1} \ \text{с}^{-2} \)), - \( M \) - масса Юпитера, - \( a \) - большая полуось орбиты спутника в метрах (в данном случае, 23700 тыс. км, что равно \( 23700 \times 10^6 \ \text{м} \)).

Мы можем решить уравнение относительно массы Юпитера (\( M \)). Для этого давайте подставим известные значения:

\[ 65352000^2 = \frac{4 \pi^2}{6.67430 \times 10^{-11}} \cdot M \cdot (23700 \times 10^6)^3 \]

Теперь давайте решим это уравнение для \( M \).

\[ M = \frac{4 \pi^2}{6.67430 \times 10^{-11}} \cdot \frac{(65352000)^2}{(23700 \times 10^6)^3} \]

Подставим числовые значения и решим:

\[ M \approx 1.899 \times 10^{27} \ \text{кг} \]

Таким образом, масса Юпитера составляет приблизительно \( 1.899 \times 10^{27} \ \text{кг} \).