Question

Fffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff Пусть AD — биссектриса треугольника ABC, и прямая l касается окружностей, описанных около треугольников ADB и ADC в точках M и N соответственно. Докажите, что окружность, проходящая через середины отрезков BD, DC и MN, касается прямой l.

Answer 1

Ответ:

Решение 1.

Обозначим центры окружностей, описанных около треугольников ADB и ADC через O1 и O2, а середины отрезков BD, DC, MN, DO2 и O1O2 — через A1, A2, K, E и O соответственно (см. рис.). Пусть  ∠ BAD =  ∠ CAD =  α . Тогда  ∠ A1O1D =  ∠ A2O2D =  α  (так как половина центрального угла равна вписанному, опирающемуся на ту же дугу). Отрезок OK — средняя линия трапеции (или прямоугольника) O1MNO2, следовательно, OK ⊥ l, и . Заметим, что точки E, O и A2 лежат на одной прямой, так как  ∠ OEO2 +  ∠ O2EA2 =  ∠ O1DO2 +  ∠ O2EA2 =  ∠ O1AO2 + (180° –  ∠ DO2C) = 2 α  + (180° – 2 α ) = 180°, т.е. OK = OE + EA2 = OA2. Аналогично доказывается, что OA1 = OK. Значит, точки A1, A2 и K лежат на окружности с центром O, а так как OK ⊥ l, то эта окружность касается прямой l.

Случай, когда вместо прямой l рассматривает-ся прямая l1, разбирается аналогично.

Решение 2.

Пусть радиусы окружностей, описанных около треугольников ADB и ADC равны R1 и R2. Если эти радиусы различны, то прямая l пересекает линию центров O1O2 в точке O (см. рис.). Пусть OD пересекает окружности в точках B′ и C′, и OA пересекает  ω  в точке A′. При гомотетии H с центром O и коэффициентом  точки C′, D и A переходят в точки D, B′ и A′ соответственно, следовательно,  ∠ DAC′ =  ∠ B′A′D. С другой стороны,  ∠ B′A′D =  ∠ B′AD, поэтому  ∠ B′AD =  ∠ C′AD. А это означает, что точки B′ и C′ совпадают с точками B и C, так как в противном случае один из углов BAD и CAD был бы меньше  α , а другой — больше  α  ( α  =  ∠ B′AD =  ∠ C′AD).

Рассмотрим гомотетию H1 с центром O, переводящую  ω 2 в окружность  ω , проходящую через точку E — середину отрезка MN. Из того, что l проходит через точку O и  ω 2 касается l, следует, что  ω  касается l в точке E. Кроме того, из гомотетичности треугольников ONC и OMD (гомотетия H) следует, что NC || MD. Кроме того, H1(C) = C1, где EC1 || NC. Поэтому EC1 — средняя линия трапеции CNMD, т.е. гомотетия H1 переводит точку C в середину DC. Аналогично, она переводит D в середину отрезка BD. Значит,  ω  проходит через середины отрезков BD и DC.

Если же R1 = R2, то вместо гомотетии следует рассмотреть параллельный перенос на вектор .

Решение 3.

Пусть R1 ≠ R2. Проведем перпендикуляр SO к плоскости  π , содержащей окружности  ω 1 и  ω 2 (см. обозначения в предыдущем решении). Нетрудно понять, что пересечение (наклонного) конуса с вершиной S и основанием  ω 1 и прямого кругового цилиндра с основанием  ω 2 является окружность, равная  ω 2 и лежащая в плоскости  π 1 ||  π . Глядя на рис., заключаем, что ортогональной проекцией на плоскость  π  пересечения конуса и плоскости, равноудаленной от  π  и  π 1 является окружность, проходящая через середины отрезков BD, DC и MN и касающаяся прямой MN.

В случае R1 = R2 вместо конуса следует рассмотреть (наклонный) цилиндр с основанием  ω 1.

Объяснение:

Answer 2

Для доказательства этого утверждения давайте рассмотрим треугольник ABC и прямую l, касающуюся окружностей, описанных около треугольников ADB и ADC в точках M и N соответственно.

1. Пусть O1 и O2 - центры окружностей, описанных около треугольников ADB и ADC соответственно.

2. Пусть P - середина отрезка BD, Q - середина отрезка DC, R - середина отрезка MN.

3. Заметим, что O1P и O2Q - радиусы соответствующих окружностей. Так как прямая l касается обеих окружностей, то она перпендикулярна к линии, соединяющей центры O1 и O2, то есть перпендикулярна к O1O2.

4. Рассмотрим треугольник O1O2R. Так как O1P и O2Q - радиусы окружностей, описанных около треугольников ADB и ADC, то O1P = O2Q.

5. Таким образом, треугольник O1O2R - равнобедренный треугольник с O1R = O2R.

6. Поскольку O1R = O2R, то прямая l является биссектрисой угла O1O2R.

7. Теперь рассмотрим треугольник BDC. Так как прямая l касается окружности, описанной около треугольника BDC, то она также перпендикулярна к линии, соединяющей центр этой окружности и точку касания на окружности.

8. Поскольку R - середина отрезка MN, то прямая BR является биссектрисой угла BRC.

9. Так как прямая l и прямая BR обе являются биссектрисами угла O1O2R и угла BRC соответственно, то угол между этими двумя прямыми равен половине угла между O1O2 и BC.

10. Но угол между O1O2 и BC равен углу между O1O2R и BRC, так как они соответственно прямоугольные углы.

11. Таким образом, угол между прямой l и прямой BR равен половине угла между O1O2R и BRC.

12. Но угол между O1O2R и BRC равен половине суммы углов O1O2R и RBC.

13. Следовательно, угол между прямой l и прямой BR равен половине суммы углов O1O2R и RBC.

14. Однако угол O1O2R равен углу O1O2R (так как треугольник O1O2R - равнобедренный), и угол RBC равен углу RBC (так как BR - биссектриса угла BDC).

15. Таким образом, угол между прямой l и прямой BR равен половине суммы углов O1O2R и RBC, что равно половине суммы O1O2R и O1O2R.

16. Но угол между прямой l и прямой BR равен углу между прямой l и линией BC (так как BR и BC параллельны).

17. Следовательно, угол между прямой l и прямой BC равен половине суммы углов O1O2R и O1O2R.

18. Так как O1O2R - равнобедренный треугольник, то сумма его углов O1O2R и O1O2R равна 180 градусов.

19. Значит, угол между прямой l и прямой BC равен половине 180 градусов, то есть 90 градусов.

20. Таким образом, прямая l перпендикулярна к прямой BC.

21. Окружность, проходящая через середины отрезков BD, DC и MN, будет описанной окружностью для треугольника BDC (по свойству описанной окружности для треугольника, смежного с биссектрисой), и она будет касаться прямой BC в точке, где BC пересекает ее диаметр (так как угол между прямой l и прямой BC равен 90 градусов).

Таким образом, окружность, проходящая через середины отрезков BD, DC и MN, касается прямой l.