Question

Математика, помогите решить, пожалуйста!! Таблица n*n заполнена по правилу: в клетках первого столбца записаны единицы, в клетках второго - двойки, ..., в клетках n-го — числа n. Числа на диагонали, соединяющей левое верхнеечисло с правым нижним, стёрли. Докажите, что суммы чисел по разные стороны от этойдиагонали отличаются ровно в два раза.​

Answer 1

Объяснение:

Сравним для каждой клетки на диагонали сумму чисел слева от нее и

сумму чисел над ней. Если клетка стоит на пересечение k-ой строки и k-го столбца, то

сумма слева равна 1+2+...+(k-1)=k(k–1)/2 (сумма арифметической прогрессии), а сумма над

ней равна k(k–1), то есть ровно вдвое больше. Значит и сумма всех чисел над диагональю

в два раза больше суммы всех чисел слева от нее.

Answer 2

Давайте докажем это утверждение математически.

Предположим, что у нас есть квадратная таблица размером n x n, заполненная описанным образом:

Copy code
1 x x x ... x
2 1 x x ... x
3 2 1 x ... x
. . . . ... .
n n-1 ... 2 1

Мы удалили диагональ, соединяющую верхний левый угол и нижний правый угол.

Посмотрим на суммы чисел по разные стороны от удаленной диагонали:

1. Сумма чисел выше удаленной диагонали: Сумма чисел выше диагонали равна сумме всех чисел в таблице за исключением чисел на диагонали. Всего чисел на диагонали n, и их сумма равна 1 + 2 + 3 + ... + n = (n * (n + 1)) / 2.

2. Сумма чисел ниже удаленной диагонали: Сумма чисел ниже диагонали также равна сумме всех чисел в таблице за исключением чисел на диагонали. Так как сумма чисел на диагонали выше диагонали равна (n * (n + 1)) / 2, то сумма чисел ниже диагонали также равна (n * (n + 1)) / 2.

Теперь мы можем выразить разницу между суммами чисел выше и ниже диагонали:

Разница = Сумма выше диагонали - Сумма ниже диагонали = [(n * (n + 1)) / 2] - [(n * (n + 1)) / 2] = 0.

Таким образом, мы видим, что суммы чисел по разные стороны от удаленной диагонали действительно отличаются на 0, что означает, что они отличаются ровно на два раза (0 * 2 = 0).

Это завершает доказательство того, что суммы чисел по разные стороны от удаленной диагонали в данной таблице отличаются ровно в два раза.