Question

В каких случаях применяется формула сочетаний?; размещений?; перестановок? Как узнать какую формулу применить для данной задачи? С простыми справляюсь а по сложнее...

Answer 1

Пусть имеется n различных объектов.  

Будем переставлять их всеми возможными способами (число объектов остается неизменными, меняется только их порядок). Получившиеся комбинации называются перестановками, а их число равно

перестановки, формулы комбинаторики

Pn=n!=1⋅2⋅3⋅...⋅(n−1)⋅n

Символ n! называется факториалом и обозначает произведение всех целых чисел от 1 до n. По определению, считают, что 0!=1,1!=1.

Пример всех перестановок из n=3 объектов (различных фигур) - на картинке справа. Согласно формуле, их должно быть ровно P3=3!=1⋅2⋅3=6, так и получается.

С ростом числа объектов количество перестановок очень быстро растет и изображать их наглядно становится затруднительно. Например, число перестановок из 10 предметов - уже 3628800 (больше 3 миллионов!).

Answer 2

Формулы сочетаний, размещений и перестановок - это концепции комбинаторики, которые используются для решения различных задач, связанных с выбором и расположением элементов из некоторого множества. Какую формулу применить в конкретной задаче зависит от характера задачи и требований к выбору и расположению элементов.

1. Формула сочетаний (С):

   • Применяется, когда важно только количество выбранных элементов, а порядок выбора не имеет значения.
   • Примеры: выбор команды из группы людей, выбор подмножества элементов.

   Формула сочетаний: C(n, k) = n! / (k! * (n - k)!)

   Где:

   • n - общее количество элементов.
   • k - количество элементов, которые вы хотите выбрать.

2. Формула размещений (A):

   • Применяется, когда важен порядок выбора элементов.
   • Примеры: выбор команды с капитаном и вице-капитаном, распределение призов между участниками.

   Формула размещений: A(n, k) = n! / (n - k)!

   Где:

   • n - общее количество элементов.
   • k - количество элементов, которые вы хотите выбрать и учесть порядок.

3. Формула перестановок (P):

   • Применяется, когда важен порядок элементов, и все элементы различны.
   • Примеры: размещение людей по местам, перестановка букв в словах.

   Формула перестановок: P(n) = n!

   Где:

   • n - общее количество элементов.

Чтобы определить, какую формулу применить в конкретной задаче, вам нужно проанализировать условия задачи и ответить на следующие вопросы:

1. Важен ли порядок элементов?
2. Могут ли элементы повторяться?
3. Требуется ли выбирать определенное количество элементов?

На основе ответов на эти вопросы вы сможете выбрать соответствующую формулу. В некоторых случаях, когда задача более сложная, требуется комбинировать формулы и использовать более сложные методы комбинаторики.