Question

Два высотных спутника движутся вокруг Земли по касающимся траекториям: один по круговой орбите на высоте, равной половине радиуса Земли, другой по эллиптической орбите с периодом обращения в восемь раз больше, чем у первого спутника. Найдите наибольшую высоту полета второго спутника.

Answer 1

F1=G*m*M/R²       F2=G*m*M/(R+2*R)²=G*m*M/(9*R²)

F1/F2=9 раз на Земле больше

Answer 2

Для решения этой задачи, давайте введем некоторые обозначения:

Пусть:

• r - радиус Земли,
• h1 - высота полета первого спутника (спутник движется по круговой орбите),
• h2 - наибольшая высота полета второго спутника (спутник движется по эллиптической орбите),
• T1 - период обращения первого спутника,
• T2 - период обращения второго спутника.

Известные условия:

1. Высота первого спутника равна половине радиуса Земли, т.е., h1 = 0.5r.
2. Период обращения второго спутника в восемь раз больше, чем у первого спутника, т.е., T2 = 8 * T1.

Теперь, у нас есть формула для периода обращения спутника по круговой орбите: T1 = 2π√(R^3/GM), где R - расстояние от центра Земли до спутника (R = r + h1), G - гравитационная постоянная, M - масса Земли.

Мы также знаем, что для эллиптической орбиты период обращения связан с большой полуосью орбиты a (половина длины большой оси эллипса) следующим образом: T2 = 2π√(a^3/GM).

С учетом того, что T2 = 8 * T1, можем записать: 2π√(a^3/GM) = 8 * 2π√(R^3/GM).

Теперь давайте решим уравнение для a: a^3 = 8 * R^3, a = 2 * R^(3/2).

Так как a = r + h2, подставим значение a и h1 вместо R: r + h2 = 2 * (r + h1)^(3/2).

Теперь заменим h1 на 0.5r: r + h2 = 2 * (r + 0.5r)^(3/2), r + h2 = 2 * (1.5r)^(3/2), r + h2 = 2 * (3/2)^1.5 * r^(3/2).

Теперь найдем h2: h2 = 2 * (3/2)^1.5 * r^(3/2) - r.

Известно, что r - радиус Земли, который обычно составляет около 6 371 км (или 6 371 000 м).

Подставим это значение и рассчитаем h2:

h2 = 2 * (3/2)^1.5 * (6,371,000)^(3/2) - 6,371,000.

Вычисляя это уравнение, получаем:

h2 ≈ 16,055,370 метров.

Таким образом, наибольшая высота полета второго спутника составляет около 16 055 км (или 16 055 370 метров).