Question

Решить дифференциальное уравнение: y'''+6y''+9y'=(16x+24)*eˣ

Answer 1

Посмотрите предложенное решение; оформление не соблюдалось.

Answer 2

Для решения данного дифференциального уравнения, представим его в виде характеристического уравнения, чтобы найти его общее решение. Затем, используем метод вариации постоянных для нахождения частного решения.

1. Найдем характеристическое уравнение: Характеристическое уравнение для уравнения y''' + 6y'' + 9y' = 0 имеет вид: r^3 + 6r^2 + 9r = 0

2. Найдем корни характеристического уравнения: r^3 + 6r^2 + 9r = r(r^2 + 6r + 9) = r(r + 3)^2 = 0

Корни характеристического уравнения: r = 0 (кратность 1), r = -3 (кратность 2).

3. Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения: Общее решение однородного уравнения: y_h(x) = C1e^(0x) + C2e^(-3x) + C3x*e^(-3x), где C1, C2 и C3 - произвольные постоянные.

4. Теперь, найдем частное решение неоднородного уравнения с помощью метода вариации постоянных. Предположим, что частное решение имеет вид: y_p(x) = (A*x + B) * e^x

5. Найдем производные y_p(x): y_p'(x) = Ae^x + (Ax + B)e^x = (Ax + 2A) * e^x y_p''(x) = (Ax + 2A)' * e^x = A * e^x + 2A * e^x = (Ax + 3A) * e^x y_p'''(x) = (Ax + 3A)' * e^x = A * e^x + 3A * e^x = (Ax + 4A) * e^x

6. Подставим y_p(x), y_p'(x) и y_p''(x) в исходное уравнение и упростим выражение: (Ax + 4A) * e^x + 6 * (Ax + 3A) * e^x + 9 * (A*x + 2A) * e^x = (16x + 24) * e^x

7. Сравним коэффициенты при e^x и при x*e^x в левой и правой частях уравнения: Приравняем коэффициенты при e^x: A + 4A + 6(A) + 9(A) = 16 20A = 16 A = 16 / 20 A = 4 / 5

Приравняем коэффициенты при x*e^x: 4A + 6(3A) + 9(2A) = 24 4A + 18A + 18A = 24 40A = 24 A = 24 / 40 A = 3 / 5

8. Теперь, зная A, найдем B: y_p(x) = (3/5 * x + 4/5) * e^x

9. Окончательное решение дифференциального уравнения: y(x) = y_h(x) + y_p(x) = (C1 * e^(0*x) + C2 * e^(-3x) + C3 * x * e^(-3x)) + (3/5 * x + 4/5) * e^x

где C1, C2 и C3 - произвольные постоянные.