Question

Докажите, что если a кратно k и b кратно k, то (a^2 − b^2) кратно k^2​

Answer 1

Ответ:

......................

.

Answer 2

Для доказательства данного утверждения, давайте воспользуемся определением кратности. По определению, если число $a$ кратно числу $k$, то существует целое число $m$, такое что $a = km$. Аналогично, если число $b$ кратно числу $k$, то существует целое число $n$, такое что $b = kn$.

Теперь, давайте рассмотрим разность квадратов $a^2 - b^2$: $a^2 - b^2 = (km)^2 - (kn)^2 = k^2m^2 - k^2n^2 = k^2(m^2 - n^2).$

Здесь мы использовали формулу разности квадратов $(x^2 - y^2) = (x + y)(x - y)$.

Заметим, что $m^2 - n^2$ также является разностью квадратов и может быть представлено как $(m + n)(m - n)$. Таким образом, мы можем записать: $a^2 - b^2 = k^2(m^2 - n^2) = k^2(m + n)(m - n).$

Теперь, поскольку $m$ и $n$ являются целыми числами, то их сумма $m + n$ и их разность $m - n$ также являются целыми числами. Обозначим их как целые числа $p$ и $q$ соответственно. Тогда мы можем переписать предыдущее равенство в следующем виде: $a^2 - b^2 = k^2(m + n)(m - n) = k^2pq.$

Заметим, что $pq$ также является целым числом, поскольку произведение двух целых чисел является целым числом.

Таким образом, мы получили, что $a^2 - b^2$ представляется в виде $k^2pq$, где $pq$ является целым числом. Следовательно, $a^2 - b^2$ также кратно $k^2$.

Таким образом, мы доказали, что если $a$ кратно $k$ и $b$ кратно $k$, то $(a^2 - b^2)$ кратно $k^2$.