Question

Чему будет равна кратчайшее расстояние между пуктами А(70° с.ш 40° в.д) и В(70° с.ш 140° з.д) на карте масштаба 1:20000000?

Answer 1

Здравствуйте!

Ответ:

22.26 см

Объяснение:

Кратчайшим расстоянием в данном конкретном случае будет расстояние по меридианам через северный полюс.

Расстояние от точки А до северного полюса в градусах равно 20° (90°- широта северного полюса, 70°- широта точки, 90°-70°=20°). Аналогично с точкой B, поэтому расстояние между точками в градусах равно 20°*2=40°.

Длина в км одного градуса по меридиану: 111,3 км.

Расстояние в км: 40° * 111,3 км/градус = 4452 км

Чтобы узнать расстояние на карте, нужно разделить расстояние в реальности на масштаб:

$\displaystyle \frac{4452\:\:km *1 }{20000000 } =\frac{4452\:\:km }{2*10 ^{7} }}=\frac{2226\:\:km }{10 ^{7}} =\frac{2226 * 10 ^{5}\:\:cm }{10 ^{7}}=\frac{2226 \:\:cm}{100} =22.26\:\: cm$

Answer 2

Для определения кратчайшего расстояния между двумя точками на поверхности Земли при данном масштабе карты (1:20,000,000), можно использовать формулу гаверсинусов для расчета расстояния на сфере. Формула гаверсинусов выглядит следующим образом:

$d = 2r \cdot \arcsin\left(\sqrt{\sin^2\left(\frac{\Delta\varphi}{2}\right) + \cos(\varphi_1) \cdot \cos(\varphi_2) \cdot \sin^2\left(\frac{\Delta\lambda}{2}\right)}\right)$

где:

• $d$ - расстояние между двумя точками на поверхности сферы (в данном случае, Земли);
• $r$ - радиус Земли (приближенно 6,371 км);
• $\varphi_1$ - широта точки A в радианах;
• $\varphi_2$ - широта точки B в радианах;
• $\Delta\varphi$ - разница между широтами точек A и B в радианах;
• $\Delta\lambda$ - разница между долготами точек A и B в радианах.

Давайте выполним расчет:

Для точки A:

• Широта $\varphi_1$ = 70° северной широты = $70 \cdot \frac{\pi}{180}$ радиан
• Долгота $\lambda_1$ = 40° западной долготы = $40 \cdot \frac{\pi}{180}$ радиан

Для точки B:

• Широта $\varphi_2$ = 70° северной широты = $70 \cdot \frac{\pi}{180}$ радиан
• Долгота $\lambda_2$ = 140° восточной долготы = $140 \cdot \frac{\pi}{180}$ радиан

Теперь можно вычислить разницу между широтами и долготами:

$\Delta\varphi = \varphi_2 - \varphi_1$ $\Delta\lambda = \lambda_2 - \lambda_1$

Подставляем значения в формулу гаверсинусов:

$d = 2 \cdot 6,371 \cdot 10^3 \cdot \arcsin\left(\sqrt{\sin^2\left(\frac{70\pi}{180} - \frac{70\pi}{180}\right) + \cos\left(\frac{70\pi}{180}\right) \cdot \cos\left(\frac{140\pi}{180} - \frac{40\pi}{180}\right) \cdot \sin^2\left(\frac{140\pi}{180} - \frac{40\pi}{180}\right)}\right)$

Вычисляем $d$, чтобы найти кратчайшее расстояние между точками A и B:

$d \approx 6,371 \cdot 10^3 \cdot \arcsin\left(\sqrt{\sin^2\left(\frac{\pi}{9}\right) + \cos\left(\frac{\pi}{9}\right) \cdot \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) \cdot \sin^2\left(\frac{\pi}{3}\right)}\right)$

$d \approx 6,371 \cdot 10^3 \cdot \arcsin\left(\sqrt{\frac{1}{81} + 0 \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{4}}\right)$

$d \approx 6,371 \cdot 10^3 \cdot \arcsin\left(\sqrt{\frac{1}{81}}\right)$