Question

Найти вероятность того, что сумма двух наугад взятых положительных правильных дробей не больше единицы, а их произведение не больше 3/16.

Answer 1

пусть, первая дробь - а1 ∈ (0; 1)

рассмотрим вероятность выбора а2 такой, чтобы а1+а2 <=1, как ф-ию р(а1)

р(а1) = 1-а1; а1 ∈ (0; 1)

тогда общая вероятность будет равна площади фигуры, ограниченной осями координат и графиком р(а1) - она составляет ровно половину квадрата со стороной 1

1

∫р(а1)da1 = (1^2)/2 - (0^2)/2 = 1/2 =>

0

Вероятность того, что сумма дробей не больше единицы, составляет

Р(а1+ а2 < 1) = 1/2

рассмотрим вероятность выбора а2 такой, чтобы а1+а2 <=1, как ф-ию р(а1)

р(а1) = 1; а1 ∈ (0; 3/16]; р(а1) = 3/16 : а1 при а1 ∈ (3/16; 1)

общая вероятность будет равна:

1

∫p(а1)da1 + 3/16 = 3/16 * (ln(16/3)+1) 

3/16

Вероятность того, что их произведение не больше 3/16 - соответственно - 

Р = 3/16 * (ln(16/3)+1) 

события независимы; поэтому вероятность наступления обоих событий равна произведению вероятностей наступления каждого из них

Р(общ) = 1/2 * 3/16 * (ln(16/3)+1)  = 3/32 * (ln(16/3)+1)