Question

Компания производит продукцию в условиях чистой монополии. Функция спроса на данный товар: P = 100 – 4 Q, а функция средних затрат: АС = (20 : Q) + Q. При каком объеме выпуска будет максимальна прибыль компании?

Answer 1

Ответ:

Для определения объема выпуска, при котором максимизируется прибыль компании, необходимо использовать правило оптимального производства в условиях монополии: маржинальный доход должен равняться маржинальным затратам.

Маржинальный доход (MR) выражается как изменение общей выручки при производстве единицы товара:

MR = ΔTR/ΔQ

где TR - общая выручка, а Q - объем производства.

В условиях монополии маржинальный доход равен изменению цены при производстве единицы товара:

MR = ΔP/ΔQ

Зная функцию спроса на товар, можно записать:

MR = 100 - 8Q

Маржинальные затраты (MC) выражаются как изменение общих затрат при производстве единицы товара:

MC = ΔTC/ΔQ

где TC - общие затраты.

Средние затраты (AC) выражаются как общие затраты, деленные на объем производства:

AC = TC/Q = (20/Q) + Q

Маржинальные затраты определяются как изменение средних затрат при производстве единицы товара:

MC = ΔAC/ΔQ

Производная функции средних затрат:

d(AC)/dQ = -20/Q^2 + 1

Приравняем маржинальный доход маржинальным затратам:

100 - 8Q = -20/Q^2 + 1

Приведем уравнение к стандартному виду:

8Q^3 - Q^2 + 100Q - 100 = 0

Для решения данного уравнения можно использовать численные методы или графический подход. Графически можно построить кривые маржинального дохода и маржинальных затрат и найти точку их пересечения, соответствующую оптимальному объему производства. В данном случае оптимальный объем производства составляет примерно 4,4 единицы товара.

При данном объеме производства цена товара составит:

P = 100 - 4Q = 82,4

Общая выручка:

TR = P × Q = 363,5

Средние затраты:

AC = (20/Q) + Q = 7,28

Маржинальные затраты:

MC = ΔAC/ΔQ = -20/Q^2 + 1 = 4,56

Маржинальная прибыль (π) определяется как разность маржинального дохода и маржинальных затрат:

π = MR - MC = 95,44

Таким образом, выпуск в объеме 4,4 единицы товара максимизирует прибыль компании.

Answer 2

Finding the Maximum Profit

To find the volume of output at which the company's profit is maximized, we need to determine the level of output that maximizes the difference between total revenue and total cost. In a monopoly, the profit-maximizing level of output occurs where marginal revenue (MR) equals marginal cost (MC).

To find the profit-maximizing level of output, we need to calculate the marginal revenue and marginal cost functions.

Calculating Marginal Revenue (MR)

In a monopoly, the marginal revenue (MR) is given by the derivative of the total revenue (TR) function with respect to quantity (Q). The total revenue function is calculated by multiplying the price (P) by the quantity (Q).

Given the demand function P = 100 - 4Q, we can calculate the total revenue function as follows:

TR = P * Q = (100 - 4Q) * Q = 100Q - 4Q^2

To find the marginal revenue (MR), we differentiate the total revenue function with respect to Q:

MR = d(TR)/dQ = d(100Q - 4Q^2)/dQ = 100 - 8Q

Calculating Marginal Cost (MC)

The marginal cost (MC) is given by the derivative of the average cost (AC) function with respect to quantity (Q). The average cost function is calculated by dividing the total cost (TC) by the quantity (Q).

Given the average cost function AC = (20 + Q) / Q, we can calculate the total cost function as follows:

TC = AC * Q = ((20 + Q) / Q) * Q = 20 + Q

To find the marginal cost (MC), we differentiate the total cost function with respect to Q:

MC = d(TC)/dQ = d(20 + Q)/dQ = 1

Equating MR and MC

To find the profit-maximizing level of output, we equate the marginal revenue (MR) and marginal cost (MC) functions:

MR = MC

100 - 8Q = 1

Solving for Q:

8Q = 99

Q = 99/8

Q ≈ 12.375

Therefore, the volume of output at which the company's profit is maximized is approximately 12.375.

Please note that this calculation assumes that the company is a profit-maximizing monopoly and that there are no other factors affecting the market.