Question

Фірма пропонує для продажу зі складу партію з 10 комп'ютерів, 4 з яких - з дефектами. Покупець купує 5 з них, не знаючи про можливі дефекти. Чому дорівнює ймовірність того, що всі 5 комп'ютерів виявляться без дефектів? Ремонт однієї дефектної машини буде коштувати 50 $. Знайдіть математичне сподівання загальної середньої вартості ремонту та його дисперсію.

Answer 1

Ответ:

Ймовірність того, що перший комп'ютер, куплений покупцем, не буде з дефектами, дорівнює 6/10. При цьому ймовірність того, що другий комп'ютер також не має дефектів, дорівнює 5/9, третій - 4/8, четвертий - 3/7, п'ятий - 2/6. Отже, загальна ймовірність того, що всі 5 комп'ютерів будуть без дефектів, дорівнює:

(6/10) * (5/9) * (4/8) * (3/7) * (2/6) = 0.0143

Математичне сподівання загальної середньої вартості ремонту складатиме:

E(X) = P(X=1) * 50 = 0.4 * 50 = 20

де X - кількість дефектних комп'ютерів серед 5 куплених.

Для визначення дисперсії спочатку необхідно знайти ймовірності того, скільки комп'ютерів серед 5 куплених будуть з дефектами. З цього можна скласти таблицю розподілу ймовірностей:

| X | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |

| --- | --- | --- | --- | --- | --- |

| P(X) | 0.077 | 0.385 | 0.385 | 0.143 | 0.010 |

Де X - кількість дефектних комп'ютерів серед 5 куплених. Тоді дисперсія обчислюється за формулою:

Var(X) = Σ[X^2 * P(X)] - E(X)^2

Var(X) = (0^2 * 0.077) + (1^2 * 0.385) + (2^2 * 0.385) + (3^2 * 0.143) + (4^2 * 0.010) - 20^2

Var(X) = 1.62

Отже, дисперсія загальної середньої вартості ремонту складатиме 1.62.

Answer 2

Щоб знайти ймовірність того, що всі 5 комп'ютерів виявляться без дефектів, спочатку ми маємо врахувати, що з 10 комп'ютерів 4 мають дефекти. Тому ймовірність того, що перший комп'ютер буде без дефектів, дорівнює 6/10, оскільки лише 6 комп'ютерів з 10 є без дефектів. Після того, як перший комп'ютер був вибраний, залишається 9 комп'ютерів, з яких 5 є без дефектів. Тому ймовірність того, що другий комп'ютер буде без дефектів, дорівнює 5/9. Аналогічно, ймовірність того, що третій, четвертий і п'ятий комп'ютери будуть без дефектів, дорівнює 4/8, 3/7 та 2/6 відповідно. Щоб знайти загальну ймовірність, ми множимо всі ці ймовірності разом:

(6/10) * (5/9) * (4/8) * (3/7) * (2/6) = 0.028

Тому ймовірність того, що всі 5 комп'ютерів виявляться без дефектів, дорівнює 0.028 або 2.8%.

Щоб знайти математичне сподівання загальної середньої вартості ремонту, ми множимо ймовірність ремонту однієї дефектної машини (4/10) на вартість ремонту однієї машини ($50):

Математичне сподівання = (4/10) * $50 = $20

Тому математичне сподівання загальної середньої вартості ремонту становить $20.

Щоб знайти дисперсію загальної середньої вартості ремонту, ми використовуємо формулу:

Дисперсія = (кількість дефектних комп'ютерів / загальна кількість комп'ютерів) * (вартість ремонту однієї машини - математичне сподівання)^2

Дисперсія = (4/10) * ($50 - $20)^2 = (4/10) * $30^2 = (4/10) * $900 = $360

Тому дисперсія загальної середньої вартості ремонту становить $360.