Question

Общие издержки равны TR=550+2Q+0,5Q в квадрате. На рынке сложилась цена P=40руб. Вычислите оптимальный объём производства и величину прибыли фирмы

Answer 1

Ответ:

Оптимальный объем равен 38 штук, а оптимальная прибыль 172 рубля.

Объяснение:

Прибыль рассчитывается как жоход за вычетом издержек. В данном случае функция дохода будет равна 40Q. Таким образом, функция прибыли будет выглядеть следующим образом:

40Q - 0.5Q^2 - 2Q - 550;

Приведем подобные слагаемые:

-0.5Q^2 + 38Q -550;

Найдем количество объема производства, при которой прибыль будет максимальной. Для этого найдем производную функцию:

-Q + 38

Приравняв эту функцию к нулю найдем критическую точку:

-Q + 38 = 0;

Q = 38;

Чтобы узнать, явояется ли эта точка точкой максимума или минимума найдём значение производной при Q больше и меньше 38:

При Q меньше 38(пусть Q будет равен 1):

-1 + 38 = 37 - значение положительное, значит функция на промежутке от минуи бесконечности до 38 возрастает.

При Q больше 38 ( пусть Q будет равен 40):

-40 + 38 = -2 - значение отрицательное, значит функция на промежутке от 38 до бесконечности убывает.

Так как функция возрастает до точки 38 и убывает от неё, то в эта самая точка являеися точкой максимума.

Найдем приьыль в точке максимума:

-0.5 (38^2) + 38×38 - 550 = 172

Answer 2

Для определения оптимального объема производства и величины прибыли фирмы, мы можем воспользоваться условием максимизации прибыли. Прибыль (π) вычисляется как разница между выручкой (TR) и общими издержками (TC):

\[ \pi = TR - TC \]

У нас дана функция общих издержек \(TR = 550 + 2Q + 0.5Q^2\) и цена \(P = 40\) рублей. Выручка (TR) равна произведению цены на количество продукции (\(P \cdot Q\)).

\[ TR = P \cdot Q \]

Таким образом, мы можем записать прибыль следующим образом:

\[ \pi = P \cdot Q - TC \]

Теперь, подставим функцию общих издержек:

\[ \pi = P \cdot Q - (550 + 2Q + 0.5Q^2) \]

Подставим цену \(P = 40\) рублей:

\[ \pi = 40Q - (550 + 2Q + 0.5Q^2) \]

Уравнение прибыли теперь выглядит так:

\[ \pi = -0.5Q^2 + 38Q - 550 \]

Чтобы найти оптимальный объем производства (\(Q\)), нужно взять производную прибыли по количеству (\(Q\)), приравнять ее к нулю и решить уравнение:

\[ \frac{d\pi}{dQ} = 0 \]

Вычислим производную:

\[ \frac{d\pi}{dQ} = -Q + 38 \]

Теперь приравняем производную к нулю и решим уравнение:

\[ -Q + 38 = 0 \]

Отсюда получаем, что \(Q = 38\). Это оптимальный объем производства.

Теперь найдем прибыль, подставив \(Q = 38\) в уравнение прибыли:

\[ \pi = -0.5(38)^2 + 38 \cdot 38 - 550 \]

\[ \pi = -0.5(1444) + 1444 - 550 \]

\[ \pi = -722 + 1444 - 550 \]

\[ \pi = 172 \]

Итак, оптимальный объем производства \(Q\) равен 38, а величина прибыли фирмы \(\pi\) равна 172 рублям.