Question

  Потребитель тратит свой доход в размере 100 руб. на приобретение молока и хлеба. Стоимость продуктов питания: Рм = 10 руб/л, Рхл = 5 руб/кг. Предпочтения потребителя описываются функцией полезности: U(xм, xхл) = xм1/4  xхл1/2. Установите, насколько изменится оптимальный набор потребителя, если его доход возрастет в 2 раза.

Answer 1

смотри решение во вложении

Answer 2

Для решения задачи нам нужно определить, как изменится спрос на молоко и хлеб, когда доход потребителя увеличится в 2 раза.

Предпочтения потребителя описываются функцией полезности:

U(xм, xхл) = xм1/4 xхл1/2

Здесь xм и xхл - количество молока и хлеба, соответственно.

Потребитель тратит свой доход в размере 100 руб. на молоко и хлеб, т.е. его бюджетный ограничение:

Pм xм + Pхл xхл = I

где Pм = 10 руб/л - цена молока, Pхл = 5 руб/кг - цена хлеба, I = 100 руб. - доход потребителя.

Так как доход потребителя увеличивается в 2 раза, его новый доход:

I' = 2I = 200 руб.

Мы можем выразить xхл через xм из бюджетного ограничения:

xхл = (I - Pм xм) / Pхл

Заменяем xхл в функции полезности:

U(xм) = xм1/4 ((I - Pм xм) / Pхл)1/2

Находим производную функции полезности по xм и приравниваем к нулю, чтобы найти максимум:

dU/dxм = (1/4) xм(-3/4) ((I - Pм xм) / Pхл)1/2 - (1/2) xм1/4 (Pм / Pхл) ((I - Pм xм) / Pхл)-1/2 = 0

Решаем это уравнение относительно xм, чтобы найти оптимальное количество молока:

xм = [(4I / 5Pм) ]3/5

Так как доход увеличился в 2 раза, новое оптимальное количество молока:

xм' = [(4I' / 5Pм) ]3/5 = [(4 * 200 / 5 * 10) ]3/5 = 8.97 л

Теперь мы можем найти новое оптимальное количество хлеба, используя бюджетное ограничение:

xхл' = (I' - Pм xм') / Pхл = (200 - 10 * 8.97) / 5 = 23.06 кг

Таким образом, оптимальный набор потребителя изменится следующим образом: новое оптимальное количество молока составит 8.97 л, а новое оптимальное количество хлеба - 23.06 кг.