Question

На олимпиаду по информатике пришли 10 учащихся из одного класса. Сколькими способами их можно распределить по четырём аудиториям, в которых они будут писать работу?

Answer 1

Рассуждаем так. Предположим, мы хотим записать все возможные способы распределения. Введём обозначения:  ноль - ученик, 1 - разделитель между аудиториями. Тогда варианты распределения запишутся так:

1) 0101010000000 - в 1-й, 2-й и 3-й аудиториях по 1 ученику, в 4-й аудитории 7 учеников,

2) 0101001000000 - в 1-й и 2-й аудиториях по 1 ученику, в 3-й аудитории 2 ученика, в 4-й аудитории 6 учеников,

и т.д.

Чтоб найти количество всех таких вариантов, запишем 10 нулей (учеников) в ряд:

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Между ними есть 9 промежутков. Нам нужно узнать сколько есть способов разместить три разделителя (единички) на этих 9 промежутках. Это вычисляется по формуле:

$C_{9}^{3}=\frac{9!}{3!*6!}= \frac{6!*7*8*9}{1*2*3*6!}=\frac{7*8*9}{1*2*3}=84$

Ответ: 84

 

PS Если существенно не только количество учеников в аудиториях, но и порядок размещения (то есть кто конкретно в какую аудиторию пойдет), то полученный ответ надо умножить на количество вариантов размещения 10 учащихся в ряд: Р=10!= 3628800

Тогда ответ будет:

$C_{9}^{3}*10!=84*3628800=304819200$