Question

Сколько существует различных символьных последовательностей длины 20 в 11-буквенном алфавите {К, О, T, Ы, …}, которые содержат ровно 18 букв Т?

Answer 1

Рассмотрим различные варианты слов из 20 букв, которые содержат 18 букв Т (звёздочка обозначает любую из оставшихся 10 букв):
ТТТТТТТТТТТТТТТТТТ**
ТТТТТТТТТТТТТТТТТ**Т
...
**ТТТТТТТТТТТТТТТТТТ - 19 вариантов

ТТТТТТТТТТТТТТТТТ*Т*
ТТТТТТТТТТТТТТТТ*ТТ*
ТТТТТТТТТТТТТТТ*ТТТ*
...
*ТТТТТТТТТТТТТТТТТТ* - 18 вариантов

ТТТТТТТТТТТТТТТТ*Т*Т
ТТТТТТТТТТТТТТТ*ТТ*Т
ТТТТТТТТТТТТТТ*ТТТ*Т
...
*ТТТТТТТТТТТТТТТТТ*Т - 17 вариантов
   ...
Т*Т*ТТТТТТТТТТТТТТТТ
*ТТ*ТТТТТТТТТТТТТТТТ - 2 варианта

*Т*ТТТТТТТТТТТТТТТТТ - 1 вариант

19+18+17+...+2+1 = 190

Для решения задачи можно также использовать формулу для вычисления числа перестановок с повторениями:
$P( n_{T}, n_{*}) = \frac{( n_{T}!+ n_{*}! )}{ n_{T}! n_{*}!}$
P(nт,n*) = (18+2)!/(18!*2!) = 20!/(18!*2!) = 19*20/2 = 190

Вместо каждой из "*" может стоять любой из десяти символов (кроме Т), то есть на каждую из 190 перестановок мы имеем 10^2 = 100 вариантов распределения остальных символов на месте звёздочек.
Общее количество вариантов = 190*100 = 19000