Question

Помогите срочно Доказать справедливость первого ¯(А∨В)=¯А∧¯В и второго ¯(А∧В)=¯А∨¯В законов де Моргана, используя таблицы истинностиУпростить логические выражения: (А∨¯А)∧В А∧(А∨В)∧(В∨¯В)

Answer 1

Ответ:

(А∨¯А)∧В = 1∧В = B

А∧(А∨В)∧(В∨¯В) = А∧(А∨В)∧1 = А∧(А∨В

Answer 2

Для доказательства законов де Моргана, мы можем использовать таблицы истинности.

Первый закон де Моргана гласит, что ¬(A ∨ B) = ¬A ∧ ¬B. Это означает, что отрицание дизъюнкции равно конъюнкции отрицаний.

Второй закон де Моргана гласит, что ¬(A ∧ B) = ¬A ∨ ¬B. Это означает, что отрицание конъюнкции равно дизъюнкции отрицаний.

Давайте продемонстрируем это на примере таблицы истинности.

1. Для первого закона де Моргана:

| A | B | A ∨ B | ¬A | ¬B | ¬A ∧ ¬B | ¬(A ∨ B) | |---|---|-------|----|----|---------|----------| | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |

2. Для второго закона де Моргана:

| A | B | A ∧ B | ¬A | ¬B | ¬A ∨ ¬B | ¬(A ∧ B) | |---|---|-------|----|----|---------|----------| | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |

Как видите, для каждого значения A и B, ¬(A ∨ B) и ¬A ∧ ¬B всегда равны, и ¬(A ∧ B) и ¬A ∨ ¬B всегда равны. Это подтверждает законы де Моргана.

Теперь давайте упростим логические выражения:

1. (A ∨ ¬A) ∧ V:

Это выражение всегда истинно, потому что A ∨ ¬A всегда истинно (закон исключенного третьего), и любое истинное значение ∧ с любым другим значением всегда истинно.

2. A ∧ (A ∨ V) ∧ (V ∨ ¬V):

Это выражение всегда истинно, потому что A ∧ A всегда истинно, V ∨ ¬V всегда истинно (закон исключенного третьего), и любое истинное значение ∧ с любым другим значением всегда истинно.