Question

Доказать справедливость первого ¯(А∨В)=¯А∧¯В и второго ¯(А∧В)=¯А∨¯В законов де Моргана, используя таблицы истинности Упростить логические выражения: (А∨¯А)∧В А∧(А∨В)∧(В∨¯В)

Answer 1

Ответ:

таблица истинности F=¯(А∧В)

A B F

|0|0| 1

|0|1 | 1

|1 |0| 1

|1 |1 | 0

таблица истинности F=¯Аv¯В

A B F

|0|0| 1

|0|1 | 1

|1 |0| 1

|1 |1 | 0

=> ¯(А∧В) = ¯Аv¯В

таблица истинности F=¯(АvВ)

A B F

|0|0| 1

|0|1 | 0

|1 |0| 0

|1 |1 | 0

таблица истинности F=¯А∧¯В

A B F

|0|0| 1

|0|1 | 0

|1 |0| 0

|1 |1 | 0

=> ¯(АvВ)=¯А∧¯В

Упрощение:

(А∨¯А)∧В = 1 ∧ В = B

А∧(А∨В)∧(В∨¯В) = А∧(А∨В)∧1 = A∧(А∨В)

Answer 2

Для доказательства законов де Моргана, начнем с таблиц истинности для данных выражений:

1. Для первого закона де Моргана: $\overline{A \lor B} = \overline{A} \land \overline{B}$

A	B	A ∨ B	¬(A ∨ B)	¬A	¬B	¬A ∧ ¬B
0	0	0	1	1	1	1
0	1	1	0	1	0	0
1	0	1	0	0	1	0
1	1	1	0	0	0	0

Как видно из таблицы истинности, выражение $\overline{A \lor B}$ имеет ту же истинностную таблицу, что и выражение $\overline{A} \land \overline{B}$. Таким образом, первый закон де Моргана подтверждается.

2. Для второго закона де Моргана: $\overline{A \land B} = \overline{A} \lor \overline{B}$

A	B	A ∧ B	¬(A ∧ B)	¬A	¬B	¬A ∨ ¬B
0	0	0	1	1	1	1
0	1	0	1	1	0	1
1	0	0	1	0	1	1
1	1	1	0	0	0	0

Как видно из таблицы истинности, выражение $\overline{A \land B}$ имеет ту же истинностную таблицу, что и выражение $\overline{A} \lor \overline{B}$. Таким образом, второй закон де Моргана также подтверждается.

Теперь давайте упростим данные логические выражения:

1. $(A \lor \overline{A}) \land B$

Заметим, что $A \lor \overline{A}$ всегда истинно (равно 1), независимо от значения A, так как это выражение представляет собой дизъюнкцию переменной A и ее отрицания. Поэтому $(A \lor \overline{A})$ всегда равно 1. Таким образом, упрощенное выражение равно просто B.

2. $A \land (A \lor B) \land (B \lor \overline{B})$

Заметим, что $B \lor \overline{B}$ также всегда истинно (равно 1), независимо от значения B, так как это выражение представляет собой дизъюнкцию переменной B и ее отрицания. Таким образом, $A \land (A \lor B) \land (B \lor \overline{B})$ всегда равно просто A.

Таким образом, упрощенные выражения:

1. $(A \lor \overline{A}) \land B$ упрощается до B.
2. $A \land (A \lor B) \land (B \lor \overline{B})$ упрощается до A.