Question

Для пар целых чисел (a,b) таких, что a=57,1≤b<57, верно ли, что φ(ab)=φ(a)φ(b), где φ — функция Эйлера? 1.Верно для всех пар 2.Не верно для всех пар 3.Верно для некоторых пар

Answer 1

Ответ:

верно для некоторых пар

Объяснение:

Поскольку функция Эйлера является мультипликативной, тождество φ(ab) = φ(a)φ(b) справедливо тогда и только тогда, когда a и b являются взаимно простыми. Учитывая, что 57 = 3×19, числа 57 и 3 не являются взаимно простыми (НОД(57; 3) = 3) так же, как числа 57 и 19 (НОД(57; 19) = 19). Стало быть, для пар вида (57; 3k), где 1≤k≤18, k ∈ ℤ, и (57; 19n), где 1≤n≤2, n ∈ ℤ, тождество не верное (все кратные 3 и 19 не взаимно простые с 57).

Answer 2

Функция Эйлера (φ) определяется как количество положительных целых чисел, меньших и взаимно простых с данным числом. Другими словами, φ(n) - это количество чисел от 1 до n-1, которые не имеют общих делителей с n, кроме 1.

Для a = 57 и любого b, такого что 1 ≤ b < 57, функция Эйлера φ(a) будет равна количеству положительных целых чисел, меньших и взаимно простых с 57. Это значение φ(a) зависит только от значения a и не зависит от b.

С другой стороны, φ(ab) будет зависеть от обоих чисел a и b, так как оно будет представлять количество положительных целых чисел, меньших и взаимно простых с произведением ab.

Таким образом, φ(ab) ≠ φ(a)φ(b) для всех пар целых чисел (a,b), таких что a = 57 и 1 ≤ b < 57.

Ответ: 2. Не верно для всех пар.