Question

Нужное приближение считается полученным, если вычислена сумма нескольких первых слагаемых , и очередное слагаемое оказалось по модулю меньше данного положительного числа e. (1+ x^1/x!+x^2/x!+x^3/x!+...=e^x);

Answer 1

Var S,x,St,F,C,n:real;
Begin
Write('x = ');ReadLn(x);
S:=1;
St:=1;
F:=1;
C:=1;
n:=0;
Repeat
n:=n+1;
F:=F*n;
St:=St*x;
C:=St/F;
S:=S+C;
Until (e > C)and(n > 7);
WriteLn('e^',x,' = ',S);
End.

Answer 2

Да, вы абсолютно правы. Вы описали способ приближенного вычисления значения функции $e^x$ с использованием ряда Тейлора. Формула, которую вы указали, представляет собой ряд Тейлора для экспоненциальной функции $e^x$:

$e^x = 1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \ldots$

Чтобы получить нужное приближение, вы можете начать с первого слагаемого $1$ и последовательно добавлять следующие слагаемые, увеличивая порядок степени $x$ и деля $x^n$ на $n!$, пока следующее слагаемое не станет меньше заданного положительного числа $e$. Таким образом, если вы хотите достичь приближения $e^x$ с точностью до $e$, то вычисляя ряд, вы будете добавлять слагаемые до тех пор, пока $\frac{x^n}{n!} < e$.

Этот метод основан на том, что при достаточно больших значениях $n$ (порядка степени $x$), слагаемые начинают уменьшаться экспоненциально, и вносимый вклад в сумму становится малозаметным. Таким образом, вы можете остановиться на том значении $n$, при котором $\frac{x^n}{n!}$ становится достаточно маленьким, чтобы удовлетворить заданной точности $e$.

Этот метод позволяет вычислять значение $e^x$ с заданной точностью, используя конечное число слагаемых ряда Тейлора.