Question

Все четырёхбуквенные слова, составленные из букв Р, Е, К, А, записаны в алфавитном порядке и пронумерованы, начиная с 1. Начало списка выглядит так: 1. АААА 2. АААЕ 3. АААК 4. АААР 5. ААЕА … Под каким номером в списке идёт первое слово, в котором нет буквы А?

Answer 1

Перебор всех таких слов по порядку- это по сути счёт по порядку в системе счисления с основанием 4, только вместо цифр 0, 1, 2, 3  использованы буквы А, Е, К, Р.
То есть, буква А соответствует нулю, а первое слово в списке соответствует числу 0000 (используется запись с фиксированным выводом четырёх цифр, включая незначащие нули).

Первым числом, в котором не будет нулей, станет число 1111 (ведь сразу вслед за нулём при последовательном счёте в числе появится цифра один). Этому числу соответствует слово ЕЕЕЕ.

Переведём это число из четверичной системы счисления в десятичную:
$1111_4=1*4^3+1*4^2+1*4^1+1*4^0=64+16+4+1=85$

Дальше нужно учесть, что в списке под номером 1 стоит число, равное нулю. Значит, к числам, обозначающим слова в списке надо прибавить единицу, тогда они будут равны порядковым номерам списка.

Получается, первое слово, в котором нет буквы А (слово ЕЕЕЕ), идёт в списке под номером 85 + 1 = 86

Ответ: номер 86.

Answer 2

Давайте рассмотрим все четырёхбуквенные слова, составленные из букв Р, Е, К, А, в алфавитном порядке:

1. АААА
2. АААЕ
3. АААК
4. АААР
5. ААЕА
6. ААЕК
7. ААЕР
8. ААКА ...
9. ААКР
10. ААРА
11. ААРЕ
12. ААРК
13. ААРР
14. АЕАА ...
15. АЕАР
16. АЕЕА
17. АЕЕК ...
18. АЕРА
19. АЕРЕ
20. АЕРК
21. АЕРР ...

И так далее. Все слова в списке начинаются с буквы "А". Теперь давайте рассмотрим слова, в которых нет буквы "А":

1. ЕЕЕЕ
2. ЕЕЕК
3. ЕЕЕР
4. ЕЕКЕ ...
5. ЕЕРЕ
6. ЕЕРК
7. ЕЕРР
8. ЕКЕЕ ...

Первое слово без буквы "А" в списке — это "ЕЕЕЕ". И оно идёт под номером 1.

Таким образом, первое слово без буквы "А" идёт под номером 1 в списке.