Question

Имеется квадрат в клеточку размером 16 на 16 клеток. В его угол (на угловую клетку) поставили умного робота, умеющего делать шаги вперед, назад, вправо и влево ровно на 1 клетку. Роботу дали задание переместиться в противоположный угол квадрата, пройдя через все клетки и побывав в каждой из них ровно по 1 разу. В прямоугольнике 3 на 2 клетки робот смог бы это сделать ровно одним способом (существует ровно один маршрут, удовлетворяющий условию). Сколькими способами умный робот сможет выполнить свое задание в квадрате 16х16? Обоснуйте Ваш ответ!

Answer 1

В квадрате 3х2 движение змейкой по вертикале, для того, что бы оказаться на противоположенном конце, как для строк, так и для столбцов их количество должно быть нечетным. Таким образом метод змейки для поля 16х16 не подходит. Более того, с соблюдением условия побывать во всех клетках по 1 разу в поле16х16 задание является невыполнимым. Ответ 0 (ноль). Для его выполнения хотя бы одна сторона должна быть нечетной.

Answer 2

Для решения данной задачи можно воспользоваться принципом динамического программирования. Пусть dp[i][j] представляет собой количество способов, которыми робот может добраться до клетки (i, j) из угловой клетки (0, 0) при условии, что робот посетит каждую клетку ровно один раз.

Таким образом, нам необходимо вычислить dp[15][15], так как в квадрате 16x16 у нас 16 строк и 16 столбцов.

Для заполнения dp[i][j] мы можем воспользоваться следующим рекуррентным соотношением:

dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i+1][j] + dp[i][j-1] + dp[i][j+1]

Робот может пойти в клетку (i, j) из клеток (i-1, j), (i+1, j), (i, j-1) или (i, j+1). Мы просто суммируем количество способов, которыми робот может добраться до каждой из этих клеток.

Теперь для начальных условий: dp[0][0] = 1 (поскольку робот уже находится в угловой клетке) и dp[i][j] = 0 для всех других клеток (поскольку робот еще не побывал в них).

Теперь, начиная с dp[0][0], мы можем последовательно заполнить все значения dp[i][j] для i от 0 до 15 и j от 0 до 15, используя рекуррентное соотношение, пока не достигнем dp[15][15].

После того, как мы вычислили dp[15][15], это число представляет собой количество способов, которыми робот может выполнить задание и добраться из угловой клетки (0, 0) в противоположный угол (15, 15), посещая каждую клетку ровно один раз.

Важно отметить, что решение с использованием динамического программирования здесь позволяет эффективно вычислить количество способов, даже при большом размере квадрата 16x16. Простым перебором такой задачи было бы практически невозможно выполнить из-за огромного количества вариантов переходов робота из клетки в клетку.