Question

Докажите, то для любых множеств А,В, справедливо равенство :A∖ (B∪C) = (A∖ В) ∩ (А∖C . Подробно и срочно

Answer 1

A\(B∪C)=(A\B)∩(A\C)   - ?
Рассмотрим левую часть уравнения:
пусть х∈(А\(В∪С))   это по определению разности множеств это значит, что
х∈А  и х∉(В∪С)  ,  по определению объединению множеств х∉(В∪С),когда  х∉В и х∉С ;  иначе:

х∈А   х∉В            (А\В)
и                             ∩
х∈А  х∉С             (А\С)
это соответствует    (А\В)∩(А\С)  -  правой части уравнения. 
  Док-но,  равенство справедливо

Answer 2

Для доказательства равенства A∖(B∪C) = (A∖B)∩(A∖C) нам нужно показать двойное включение:

1. Первое включение: A∖(B∪C) ⊆ (A∖B)∩(A∖C)
2. Второе включение: (A∖B)∩(A∖C) ⊆ A∖(B∪C)

Давайте начнем с первого включения:

1. Первое включение: A∖(B∪C) ⊆ (A∖B)∩(A∖C)

Пусть x принадлежит множеству A∖(B∪C). Это означает, что x принадлежит множеству A, но не принадлежит множеству B∪C. Следовательно, x принадлежит множеству A и не принадлежит ни множеству B, ни множеству C.

Теперь рассмотрим множество (A∖B)∩(A∖C). Это множество состоит из всех элементов, которые принадлежат множеству A и не принадлежат множеству B, а также не принадлежат множеству C.

Мы видим, что x принадлежит обоим множествам A∖(B∪C) и (A∖B)∩(A∖C), так как x принадлежит множеству A и не принадлежит ни множеству B, ни множеству C. Таким образом, первое включение доказано.

2. Второе включение: (A∖B)∩(A∖C) ⊆ A∖(B∪C)

Пусть x принадлежит множеству (A∖B)∩(A∖C). Это означает, что x принадлежит множеству A и не принадлежит множеству B, а также не принадлежит множеству C.

Теперь рассмотрим множество A∖(B∪C). Это множество состоит из всех элементов, которые принадлежат множеству A, но не принадлежат множеству B∪C.

Так как x принадлежит множеству A и не принадлежит ни множеству B, ни множеству C, то x также не будет принадлежать множеству B∪C. Следовательно, x принадлежит множеству A∖(B∪C).

Таким образом, мы показали, что любой элемент, принадлежащий множеству (A∖B)∩(A∖C), также принадлежит множеству A∖(B∪C). Следовательно, второе включение доказано.

Так как мы доказали оба включения, то равенство A∖(B∪C) = (A∖B)∩(A∖C) доказано.