Question

Используя метод половинного деления, определи имеет ли уравнение y=1x3−4,2x−4 корень на промежутке [−3, 4].

Answer 1

function f(x: real): real;

begin

 f:=x*x*x - 4.2*x - 4;

end;

{ основная программа }

var a,b,c,eps: real;  

   k: integer;  

{ a - начало интервала, b - конец }

begin

 write('a = ');  readln(a);

 write('b = ');  readln(b);

 if f(a)*f(b)<0 then

 begin

   write('точность вычислений eps: ');  readln(eps);

   k:=1;

   while abs(a-b)>eps do

   begin

     writeln('итерация ',k,'  a =',a:12:8, '  b =',b:12:8);

     c:=(a+b)/2;  

     if f(c)<>0 then

     begin

       if f(c)*f(b)<0 then a:=c

       else b:=c

     end;

     k:=k+1;

   end;

   writeln('корень = ',a:12:8);

 end

 else

    writeln('на интервале [',a,',',b,']',' корней нет');

end.

a = -3

b = 4

точность вычислений eps: 0.0001

итерация 1  a = -3.00000000  b =  4.00000000

итерация 2  a =  0.50000000  b =  4.00000000

итерация 3  a =  2.25000000  b =  4.00000000

итерация 4  a =  2.25000000  b =  3.12500000

итерация 5  a =  2.25000000  b =  2.68750000

итерация 6  a =  2.25000000  b =  2.46875000

итерация 7  a =  2.35937500  b =  2.46875000

итерация 8  a =  2.41406250  b =  2.46875000

итерация 9  a =  2.41406250  b =  2.44140625

итерация 10  a =  2.41406250  b =  2.42773438

итерация 11  a =  2.41406250  b =  2.42089844

итерация 12  a =  2.41748047  b =  2.42089844

итерация 13  a =  2.41918945  b =  2.42089844

итерация 14  a =  2.41918945  b =  2.42004395

итерация 15  a =  2.41918945  b =  2.41961670

итерация 16  a =  2.41918945  b =  2.41940308

итерация 17  a =  2.41929626  b =  2.41940308

корень =   2.41934967

Answer 2

Для определения наличия корня у уравнения на заданном промежутке [−3, 4] с помощью метода половинного деления (или метода бисекции) нужно выполнить следующие шаги:

1. Проверить знаки функции y на концах интервала [−3, 4].
2. Если значения функции на концах интервала имеют разные знаки, то на этом интервале гарантировано есть хотя бы один корень.

Уравнение, данное вам, это y = x^3 - 4.2x - 4.

Давайте проверим знаки функции на концах интервала:

При x = -3: y = (-3)^3 - 4.2(-3) - 4 y = -27 + 12.6 - 4 y = -18.4 (отрицательное значение)

При x = 4: y = 4^3 - 4.2(4) - 4 y = 64 - 16.8 - 4 y = 43.2 (положительное значение)

Значения функции на концах интервала имеют разные знаки (отрицательное и положительное), что означает, что на интервале [-3, 4] у уравнения есть хотя бы один корень.

Теперь мы можем применить метод половинного деления, чтобы найти приближенное значение корня на этом интервале. В этом методе интервал разбивается пополам, и определяется, в какой половине изменяется знак функции. Затем, этот половина становится новым интервалом, и процесс повторяется до достижения требуемой точности.

Процесс нахождения корня методом половинного деления достаточно итеративный и требует программного кода для выполнения. Если вы хотите увидеть реализацию на Python, дайте знать, и я смогу предоставить пример кода.