Question

С ПОДРОБНЫМ РЕШЕНИЕМ Обозначим через ДЕЛ(n, m) утверждение «натуральное число n делится без остатка на натуральное число m». Для какого наибольшего натурального числа А формула ¬ДЕЛ(x, 18) → (¬ДЕЛ(x, A) → ¬ДЕЛ(x, 12)) тождественно истинна (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной х)?

Answer 1

Ответ:

12

Объяснение:

Импликация A → B неверна только в том случае, когда посылка A истинна, а следствие B ложно.

Значит, не должно найтись таких x, что ¬ДЕЛ(x, 18) (то есть, x не делится на 18), (¬ДЕЛ(x, A) → ¬ДЕЛ(x, 12)) ложно.

¬ДЕЛ(x, A) → ¬ДЕЛ(x, 12) ложно, если ¬ДЕЛ(x, A) (x не делится на A) и неверно, что ¬ДЕЛ(x, 12) (то есть, если x делится на 12).

Собираем вместе:

Не должно найтись таких x, для которых одновременно x не делится на 18, x не делится на A и x делится на 12.

Если x делится на 12 = 6 * 2 и не делится на 18 = 6 * 3, то оно точно делится на 12, и не факт, что делится на что-то большее. Значит, максимально возможное значение A - 12.

Answer 2

Давайте разберемся с этой задачей пошагово.

У нас есть формула ¬ДЕЛ(x, 18) → (¬ДЕЛ(x, A) → ¬ДЕЛ(x, 12)), и мы хотим найти наибольшее натуральное число A, для которого эта формула будет тождественно истинной, то есть она всегда будет принимать значение 1 при любом натуральном значении переменной x.

Рассмотрим отрицание данной импликации ¬(¬ДЕЛ(x, 18) → (¬ДЕЛ(x, A) → ¬ДЕЛ(x, 12))). Применим законы логики:

1. ¬(¬ДЕЛ(x, 18) → (¬ДЕЛ(x, A) → ¬ДЕЛ(x, 12)))
2. ¬(ДЕЛ(x, 18) ∨ (¬ДЕЛ(x, A) → ¬ДЕЛ(x, 12))) (Закон импликации: p → q ≡ ¬p ∨ q)
3. ¬ДЕЛ(x, 18) ∧ ¬(¬ДЕЛ(x, A) → ¬ДЕЛ(x, 12)) (Закон де Моргана: ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q)
4. ¬ДЕЛ(x, 18) ∧ (¬ДЕЛ(x, A) ∧ ДЕЛ(x, 12)) (Закон импликации: p → q ≡ ¬p ∨ q)

Таким образом, нам нужно найти наибольшее натуральное число A, для которого формула ¬ДЕЛ(x, A) ∧ ДЕЛ(x, 12) будет тождественно истинной.

Заметим, что число A должно быть больше или равно 12 (потому что нам нужно, чтобы ¬ДЕЛ(x, A) было истинно, когда ДЕЛ(x, 12) истинно), и оно также должно быть больше 18 (потому что ¬ДЕЛ(x, 18) должно быть истинно).

Следовательно, наибольшее подходящее значение для A - это 19. При A = 19 формула будет тождественно истинной, так как ¬ДЕЛ(x, 19) всегда будет верно (потому что оно больше 18), и при этом ДЕЛ(x, 12) также всегда будет верно (потому что 12 делится на любое натуральное число x).

Таким образом, наибольшее натуральное число A = 19.