Question

Автомат получает на вход натуральное число X. По этому числу строится трёхзначное число Y по следующим правилам: 1. Первая цифра числа Y (разряд сотен) – остаток от деления X на 3. 2. Вторая цифра числа Y (разряд десятков) – остаток от деления X на 2. 3. Третья цифра числа Y (разряд единиц) – остаток от деления X на 5. Пример. Исходное число: 53. Остаток от деления на 3 равен 2; остаток от деления на 2 равен 1; остаток от деления на 5 равен 3. Результат работы автомата: 213. Укажите наименьшее двузначное число, при обработке которого автомат выдаёт результат 104.

Answer 1

Ответ:

34

Объяснение:

Число X даёт остаток 1 при делении на 3, остаток 0 при делении на 2 и остаток 4 при делении на 5, значит, исходное число можно представить как X = 3a + 1 = 2b = 5c + 4 (числа a, b, c — натуральные или 0).

Рассмотрим равенство 2b = 5c + 4. Число 5c + 4 — чётное, значит, c также чётное (в противном случае мы получим произведение нечётных чисел, т. е. число нечётное, плюс чётное число — результат нечётный).

Рассмотрим равенство 5c + 4 = 3a + 1 ⇔ 5c = 3a - 3 = 3(a - 1) ⇒ число c делится на 3, но также c делится на 2 по прошлому равенству, значит, c делится на 6.

Сделаем последовательный перебор чисел c:

• Если c = 0, то 5c + 4 = 4 < 10 — число не двузначное.

• Если c = 6, то 5c + 4 = 34. Действительно, 34 = 3·11 + 1 = 2·17 = 5·6 + 4

Значит, 34 — наименьшее искомое двузначное число.

Answer 2

Давайте рассмотрим задачу шаг за шагом. Мы ищем наименьшее двузначное число X, для которого результат работы автомата равен 104. Для этого мы будем использовать правила, описанные в вашем вопросе.

1. Первая цифра числа Y (разряд сотен) – остаток от деления X на 3.
2. Вторая цифра числа Y (разряд десятков) – остаток от деления X на 2.
3. Третья цифра числа Y (разряд единиц) – остаток от деления X на 5.

Мы хотим, чтобы результат был равен 104. Поэтому первая цифра (разряд сотен) должна быть 1, вторая цифра (разряд десятков) должна быть 0, и третья цифра (разряд единиц) должна быть 4.

1. Первая цифра (разряд сотен) равна 1, что означает, что X должно быть вида 1XY, где Y - это двузначное число.
2. Вторая цифра (разряд десятков) равна 0, что означает, что X должно делиться на 2 без остатка.
3. Третья цифра (разряд единиц) равна 4, что означает, что X должно давать остаток 4 при делении на 5.

Сначала найдем наименьшее двузначное число Y, которое заканчивается на 4 (разряд единиц), то есть 14. Теперь мы ищем наименьшее двузначное число X, которое делится на 2 (разряд десятков) и дает остаток 4 при делении на 5. Это число 24.

Таким образом, наименьшее двузначное число X, при обработке которого автомат выдаст результат 104, равно 124.