Question

На числовой прямой даны два отрезка: P = [10,25] и Q = [20, 55]. Определите наибольшую возможную длину отрезка A, при котором выражение ( x ∈ A) → ((x ∈ P) ∨ (x ∈ Q) ) истинно при любом значении переменной х

Answer 1

Ответ:

$45$

Объяснение:

Условие можно прочитать как:

Если $x\in A$, то $x\in P$ или $x\in Q$. Отсюда получаем что: $A \subseteq P\cup Q$.

$P\cup Q = [10; 55] \Rightarrow A = [10; 55] \Rightarrow |A| = 55 - 10 = 45$

Answer 2

Для определения наибольшей возможной длины отрезка A, при которой данное выражение истинно при любом значении переменной x, нам нужно найти пересечение отрезков P и Q.

Отрезок P = [10, 25] имеет длину 25 - 10 = 15. Отрезок Q = [20, 55] имеет длину 55 - 20 = 35.

Для того чтобы выражение (x ∈ A) → ((x ∈ P) ∨ (x ∈ Q)) было истинно при любом значении переменной x, отрезок A должен включать в себя все элементы отрезков P и Q.

Минимальное начало отрезка A будет равно максимуму из начал отрезков P и Q, то есть max(10, 20) = 20. Максимальное конечное значение отрезка A будет равно минимуму из концов отрезков P и Q, то есть min(25, 55) = 25.

Таким образом, отрезок A будет иметь длину 25 - 20 = 5.

Следовательно, наибольшая возможная длина отрезка A при которой выражение (x ∈ A) → ((x ∈ P) ∨ (x ∈ Q)) истинно при любом значении переменной x равна 5.