Question

Найдите самое маленькое натуральное число, запись которого в двоичной, четверичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системах счисления содержит ровно две единицы и некоторое количество нулей. Ответ укажите в десятичной системе счисления.

Answer 1

Самая короткая запись числа будет в системе счисления с максимальным основанием, т.е. в шестнадцатиричной. Минимальное натуральное число, содержашее ровно две единицы и хотя бы один ноль - это 101₁₆

Запишем его в двоичной системе, заменяя каждую шестнадцатиричную цифру ее двоичным эквивалентом из четырех разрядов (тетрадой), поскольку 16 = 2⁴.

1 0 1₁₆ = 0001 0000 0001₂ = 100000001₂

Чтобы представить двоичное число в системе счисления по основанию 4, надо каждые две цифры заменить одной в этой системе, поскольку 4 = 2². Разбиваем число 100000001₂ на пары справа налево.

1 00 00 00 01₂ = 10001₄

Чтобы представить двоичное число в системе счисления по основанию 8, надо каждые три цифры (триаду) заменить одной в этой системе, поскольку 8 = 2³. Разбиваем число 100000001₂ на тройки справа налево.

100 000 001₂ = 401₈ - и это плохо, четверка недопустима по условию.

Следующим протестируем число 110₁₆ = 1 0001 0000₂

1 0001 0000₂ = 100 010 000₂ = 420₈ и это тоже не подходит.

Идущие далее 111₆ и 1000₁₆ не подходят по условию.

Следующее число 1001₁₆ = 1 0000 0000 0001₂

1 000 000 000 001₂ = 10001₈

Также, 1 00 00 00 00 00 01₂ = 1000001₄ = это и будет решением.

В десятичной системе 1001₁₆ = 1×16³ + 1×16⁰ = 4096 + 1 = 4097

Ответ: 4097

Answer 2

Чтобы найти такое число, мы можем перебирать натуральные числа, начиная с наименьшего, и проверять их запись в разных системах счисления на наличие ровно двух единиц.

Двоичная система счисления имеет только две цифры - 0 и 1, поэтому чтобы число содержало ровно две единицы, оно должно иметь вид "10". Проверим, как оно записывается в остальных системах.

В четверичной системе счисления число "10" представляет собой число 2.

В восьмеричной системе счисления число "10" представляет собой число 8.

В шестнадцатеричной системе счисления число "10" представляет собой число 16.

Таким образом, самое маленькое натуральное число, которое записывается в двоичной, четверичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системах счисления и содержит ровно две единицы, равно 16.