Question

Исполнитель Чертёжник перемещается на координатной плоскости, оставляя след в виде линии. Чертёжник может выполнять команду Сместиться на (a, b) (где a, b – целые числа), перемещающую Чертёжника из точки с координатами (x, y) в точку с координатами (x + a, y + b). Чертёжнику был дан для исполнения следующий алгоритм: Сместиться на (52,-7) Повтори N раз Сместиться на (15, 22) Сместиться на (a, b) конец Сместиться на (–17, –35) Определите минимальное натуральное значение N > 1, для которого найдутся такие значения чисел a и b, что после выполнения программы Чертёжник возвратится в исходную точку?

Answer 1

Если я правильно поняла смысл задачи, то нужно найти такое минимальное натуральное n, при котором указанные значения a и b были бы целыми числами. Тогда могу предложить такой вариант решения:

Составим для х и у уравнения пути чертежника, при котором он возвращается в исходную точку (система уравнений):
1) для х: 52+n*(15+a)-17=0,
2) для y: -7+n*(22+b)-35=0.

Выразим в обоих уравнениях a и b через n :
1) a=-35/n-15
2) b=42/n-22

Теперь, чтобы a и b оказались целыми числами, мы должны найти число, на которое 35 и 42 делятся без остатка, то есть НОД.
Итак, n = НОД(35 и 42) = 7.
=>

1) a = -35/7-15 = -20
2) b = 42/7-22 = -16

Ответ: n=7

Answer 2

Чтобы Чертежник вернулся в исходную точку, необходимо, чтобы сумма всех смещений по координате $x$ была равна 0, а сумма всех смещений по координате $y$ была равна 0.

Рассмотрим сначала смещение на (15, 22). Если выполнить это смещение $N$ раз, то суммарное смещение по координате $x$ будет равно $N \cdot 15$, а по координате $y$ - $N \cdot 22$.

Аналогично, смещение на (a, b) выполнено $N$ раз, то суммарное смещение по координате $x$ будет равно $N \cdot a$, а по координате $y$ - $N \cdot b$.

И, наконец, смещение на (-17, -35) добавит к суммарному смещению по координате $x$ значение $-N \cdot 17$, а к суммарному смещению по координате $y$ - значение $-N \cdot 35$.

Таким образом, чтобы Чертежник вернулся в исходную точку, необходимо решить систему уравнений:

N \cdot 15 + N \cdot a - N \cdot 17 = 0 \\ N \cdot 22 + N \cdot b - N \cdot 35 = 0 \end{cases}$$ Упрощая, получаем: $$\begin{cases} N \cdot (15 + a - 17) = 0 \\ N \cdot (22 + b - 35) = 0 \end{cases}$$ Откуда следует, что: $$\begin{cases} a = 2 \\ b = 13 \end{cases}$$ Таким образом, чтобы Чертежник вернулся в исходную точку, необходимо выполнить смещение на (2, 13) после $N$ повторений смещения на (15, 22) и смещения на (-17, -35). Теперь решим неравенство $N > 1$. Если выполнить только одно смещение на (15, 22), то Чертежник никогда не вернется в исходную точку. Если же выполнить смещение на (15, 22) дважды, то суммарное смещение по координате $x$ будет равно $2 \cdot 15 = 30$, а по координате $y$ - $2 \cdot 22 = 44$. Добавление смещения на (2, 13) уменьшит смещение по координате $x$ на 2, а по координате $y$ - на 13. Добавление смещения на (-17, -35) еще больше уменьшит смещение по ко