Question

Один из спутников Сатурна отстоит от центра планеты на 185 000 км и имеет период обращения 0,94 суток. Найдите массу Сатурна.

Answer 1

Ответ: Масса Сатурна ≈ 5,6779*10^26 кг.

Объяснение:   Из закона Всемирного тяготения следует, что ускорение свободного падения на расстоянии R  от центра планеты массой М определяется выражением:

                              g = G*M/R² ----------- (1)

С другой стороны это ускорение будет являться центростремительным ускорением для спутника планеты, обращающегося вокруг планеты на расстоянии R  от центра планеты.  Центростремительное ускорение, как известно, определяется выражением:

                               а = V²/R  _______ (2)

Таким образом, можно записать уравнение: g = а,

или G*M/R² =  V²/R.  После сокращения имеем:    

                              V² = G*M/R ----------- (3)

 Линейную скорость спутника на удалении R от центра планеты  можно найти по формуле:

                             V = 2πR/Т _______   (4)

здесь Т – время одного оборота спутника вокруг планеты.

Подставив выражение (4) в выражение (3), имеем

                      4π²R²/Т² =  G*M/R  ______(5)

Из последнего выражения:

                         М = 4π²R³/GТ²   ______ (6)

Дано:

Расстояние спутника от центра Сатурна R = 185000 км =

=  1,85*10^8 м  

Время одного оборота спутника вокруг Сатурна Т = 0,94 суток = 0,94*24*60*60 = 81216 секунд.

Гравитационная постоянная  G = 6,6743*10^-11 м^3,с^-2, кг^-1

Найти массу Сатурна М - ?

Выше было показано, что массу Сатурна можно найти по формуле М = 4π²R³ /GТ². Подставив числовые значения параметров имеем: М = 4π²*(1,85*10^8)³/6,6743*10^-11*(81216)² =

=  4π²* 6,331625*10^24/0,440239408... ≈ 5,6779*10^26 кг.

Answer 2

Для решения данной задачи воспользуемся формулой для центростремительной силы:

F = m * (v^2 / r)

где F - центростремительная сила, m - масса Сатурна, v - скорость спутника, r - расстояние от спутника до центра Сатурна.

Также, известно, что период обращения спутника равен времени, за которое он проходит полный круг вокруг Сатурна. Период обращения можно выразить через скорость и длину окружности, по которой движется спутник:

T = 2 * π * r / v

где T - период обращения, π - число Пи.

Из этой формулы можно выразить скорость спутника:

v = 2 * π * r / T

Подставим это выражение для скорости в формулу для центростремительной силы:

F = m * ((2 * π * r / T)^2 / r)

Учитывая, что центростремительная сила равна гравитационной силе, можно записать:

F = G * m * M / r^2

где G - гравитационная постоянная, M - масса Сатурна.

Таким образом, получаем уравнение:

G * m * M / r^2 = m * ((2 * π * r / T)^2 / r)

Сокращая массу спутника m с обеих сторон, получаем:

G * M / r^2 = (2 * π * r / T)^2 / r

Теперь можем выразить массу Сатурна M:

M = (2 * π * r^3) / (G * T^2)

Подставляя известные значения: r = 185 000 км = 185 000 000 м, T = 0,94 суток = 0,94 * 24 * 60 * 60 секунд, G = 6,67430 * 10^-11 м^3 / (кг * с^2), получаем:

M = (2 * π * (185 000 000)^3) / (6,67430 * 10^-11 * (0,94 * 24 * 60 * 60)^2)

Вычисляя данное выражение, получаем:

M ≈ 5,68 * 10^26 кг

Таким образом, масса Сатурна составляет примерно 5,68 * 10^26 кг.