Question

У двойной звезды параллакс 0,05'', большая полуось видимой орбиты 2' , а период обращения компонентов 100 лет. Найдите сумму масс звезд, а также массу каждой звезды, если звезды находятся на расстояниях, которые относятся как 4:1.

Answer 1

Ответ:   М1 = 7,00026851*10^29 кг

М2 = 1,75006712*10^29 кг.

М1 + М2 = 8,7503356*10^29 кг.

Объяснение:  Дано:

Параллакс двойной звезды р" = 0,05"

Угловой размер полуоси орбиты а = 2' = 120"

Период обращения компонентов Т = 100 лет =

= 100*365,25*24*3600 секунд

Отношение расстояний звезд от центра масс системы 4:1

Гравитационная постоянная  G = 6,6743*10^-11 м^3,с^-2, кг^-1

Найти сумму масс звезд, и массу каждой звезды. М1 -? М2-?

М1 + М2 - ?

Для системы двойной звезды третий закон Кеплера связывает период обращения звезд (Т), большую полуось орбиты (А) и массы звезд соотношением:

                       Т = 2π√{А³/G(М1 + М2)}  ____ (1)

Таким образом, чтобы найти сумму масс звезд вначале надо найти большую полуось (А) орбиты.

Расстояние до двойной звезды  S = 1/р" = 1/0,05" = 20 пк.  Тогда большая полуось орбиты двойной звезды

А = а*S/206265 = 120*20/206265 = 0,0116355174…пк = 0,0116355174*206265 а.е. = 359,04*10^10 м.

Из выражения (1)     М1 + М2 = 4π²А³/GТ².  

Подставив числовые значения параметров, имеем: М1+М2=

= ΣМ = 4π²*(359,04*10^10)³/6,6743*10^-11*(100*365,25*24*3600)²=

= 8,7503356*10^29 кг.

Так как отношение расстояний звезд от центра масс системы равно 4:1, то масса одной звезды

М1 = ΣМ*4/5 = 7,00026851*10^29 кг, масса другой звезды М2 = ΣМ/5 = 1,75006712*10^29 кг.

Answer 2

Для определения массы компонентов двойной звезды можно воспользоваться третьим законом Кеплера:

T^2 = (4π^2 / G) * (a^3 / (M1 + M2))

где T - период обращения, a - большая полуось орбиты, G - гравитационная постоянная, M1 и M2 - массы компонентов звезд.

Из условия задачи даны следующие значения: параллакс = 0,05" большая полуось орбиты = 2' период обращения = 100 лет

Переведем большую полуось орбиты из угловых минут в радианы: 1' = (π/180) радиан Таким образом, a = (2π/180) радиан

Переведем период обращения из лет в секунды: 1 год = 365.25 дня 1 день = 24 часа 1 час = 60 минут 1 минута = 60 секунд Таким образом, T = 100 * 365.25 * 24 * 60 * 60 секунд

Подставим известные значения и решим уравнение относительно суммы масс (M1 + M2): (T^2 * G) / (4π^2) = a^3 / (M1 + M2)

Подставим значение гравитационной постоянной G = 6.67430 * 10^-11 м^3/(кг * с^2) и решим уравнение: (100 * 365.25 * 24 * 60 * 60)^2 * (6.67430 * 10^-11) / (4 * (π/180)^2) = (2π/180)^3 / (M1 + M2)

Решив уравнение, найдем сумму масс (M1 + M2).

Для определения массы каждой звезды, можно использовать отношение дистанций:

M1 / M2 = (d2 / d1)^3

где d1 и d2 - расстояния звезд до точки наблюдения.

По условию известно, что расстояния относятся как 4:1, то есть d2 = 4d1.

Подставим это значение в уравнение: M1 / M2 = (d2 / d1)^3 = (4d1 / d1)^3 = 4^3 = 64

Отсюда получаем, что M1 = 64M2.

Мы нашли отношение масс компонентов звезд, теперь, имея сумму масс (M1 + M2), можем найти массу каждой звезды.

Таким образом, сумма масс звезд составляет (M1 + M2), а масса каждой звезды равна M1 и M2 соответственно.