Question

Межпланетная станция, пересекая орбиту астероида, имеющего период обращения вокруг Солнца ровно 11 лет, отправила сигнал наземному радиотелескопу слежения. Скорость станции относительно Солнца в этот момент была равна 18 км/с, а Земля наблюдалась со станции в наибольшей элонгации. Считая орбиты Земли и астероида круговыми, ответьте на ряд вопросов. 1. В какой конфигурации будет наблюдаться станция с Земли? а) соединение б) противостояние в) квадратура г) наибольшая элонгация д) эта конфигурация не имеет специального названия е) невозможно указать однозначно 2. Чему равен радиус орбиты астероида (ответ укажите в а.е. и округлите до сотых)? 3. Чему равно расстояние от станции до Земли (ответ укажите в а.е. и округлите до сотых)? 4. Сколько времени будет идти сигнал (ответ укажите в часах и округлите до сотых)? 5. Сколько времени будет идти сигнал (ответ укажите в часах и округлите до сотых)?

Answer 1

Ответ:

1. Квадратура.

Земля наблюдалась со станции в наибольшей элонгации, т.е. у Земли - внутренняя орбита, станция - на внешней орбите астероида, угол Солнце-Земля-станция является при этом прямым, так как максимальная элонгация внутренней планеты (у нас Земля) наблюдается в момент, когда прямая Земля-станция булет касательной к орбите Земли.

Если смотреть с Земли, то угол не меняется: угол Солнце-Земля-станция также прямой, но конфигурация для станции как внешней планеты будет называться квадратурой.

2. 4,93 а.е.

Согласно Третьему закону Кеплера, для вычисления расстояния, на котором тело должно вращаться по орбите, чтобы иметь заданный период обращения ( у нас 11 лет) имеем:

а= $\sqrt[3]{\frac{GMT^{2} }{4\p\pi ^{2} } }$= [ м], где

G- гравитационная постоянная = 6,6743 * $10^{-11}$ м3/$c^{2}$кг

М - масса центрального тела ( в нашем примере это Солнце) = 1,98892 * $10^{30}$ кг

Т - период обращения ( в сек) = 11 лет= 11 * 365дн*24час*60мин*60сек=1,2 * $10^{17}$ сек.

а= $\sqrt[3]{\frac{6,6743*10^{-11}* 1,98892*10^{30} *1,2 *10^{17} }{4*3,14^{2} } }$ = 7,39 * $10^{11}$м= 739 млн.км= 739 : 150 = 4,93 а.е.

3. 4,83 а.е.

Нужен чертеж: Солнце в центре ( буква С), вокруг Солнца - орбита Земли, на которой Земля ( буква Z). Пунктир от С до Z (радиус орбиты Земли= 1 а.е.). Еще рисуем одну орбиту, больше земной (орбита астероида) с которой пересеклась межпланетная станция (буква М). От С к М пунктир ( это радиус орбиты астероида, который мы вычислили= 4,93 а.е.). От М пунктир к Z ( это касательная к орбите Земли и угол СZМ=90°- квадратура).

Теперь, рассмотрим треугольник СZМ - он прямоугольный. Чтобы найти расстояние от станции (точка М) до Земли (точка Z) нужно использовать теорему Пифагора:

$CM^{2}$= $CZ^{2}$+ $ZM^{2}$, отсюда

ZM=$\sqrt{CM^{2}-CZ^{2} }$= $\sqrt{4,93^{2} - 1^{2} }$= 4,83 а.е.

4. 0,67 час

Чтобы определить время прохождения сигнала, используем формулу

s= ct, где

s- расстояние от станции до Земли (мы определили)=4,83 а.е.= 4.83 * 150= 724,5 млн.км=7,245*$10^{11}$м

с- скорость волны в вакууме ( постоянная)= 3*$10^{8}$ м/с

t= s/c=$\frac{7.245*10^{11} }{3 *10^{8} }$= 2,415 * $10^{3}$ сек= 2415 : 60 :60= 0,67 час.

5. Это задание смотри выше, наверное ошибочно задвоено.

Объяснение:

Answer 2

Давайте решим по порядку.

1. Конфигурация наблюдения станции с Земли: - В данном случае станция находится на орбите, пересекающей орбиту астероида. Таким образом, когда станция находится в наибольшей элонгации (максимальное угловое расстояние от Солнца), она будет находиться в боковой квадратуре (когда угловое расстояние от Солнца до станции и Земли прямое). Таким образом, правильный ответ - в) квадратура.

2. Радиус орбиты астероида: - По закону Кеплера для круговой орбиты: \( T^2 \propto a^3 \), где \( T \) - период обращения, \( a \) - полуось орбиты. - Период обращения астероида \( T = 11 \) лет. Подставим это значение в формулу: \( 11^2 \propto a^3 \). - Решив это уравнение, получим \( a \approx 5,89 \) астрономических единиц (а.е.).

3. Расстояние от станции до Земли: - Расстояние от станции до Земли в данном случае будет равно полуоси орбиты станции. - Таким образом, расстояние \( \approx 5,89 \) а.е.

4. Время, которое займет сигнал от станции до Земли: - Для расчета времени, нам нужно узнать скорость распространения сигнала. Скорость света в вакууме \( c \approx 299,792 км/с \). - Расстояние от станции до Земли \( \approx 5,89 \) а.е. = \( 5,89 \times 149,597,870.7 \) км (1 а.е. = 149,597,870.7 км). - Время \( t = \frac{\text{расстояние}}{\text{скорость}} \). - Подставим значения и рассчитаем.

5. Время, которое займет сигнал от Земли до станции: - Так как станция движется от Земли, скорость сигнала будет равна скорости света плюс скорость станции относительно Солнца. - Рассчитаем время так же, как в предыдущем пункте.

Пожалуйста, уточните, если что-то не ясно, или если вам нужны более подробные вычисления.