Question

Некоторая планета наблюдается с Земли. Её синодический период в 3 раза больше,чем сидерический. На коком минимальном расстоянии может проходить Эта планета от Земли? Орбиты планет считать круговыми.

Answer 1

Пусть Синодический период S, Сидерический период T

По условию S=3T

Если планета Внешняя то

1/3T = 1 - 1/T

откуда T= 4/3 года

по третьему закону Кеплера

T^2=a^3 , Откуда a = 1.21 а.е.

Минимальное расстояние до Земли 0.21 а.е.

Если планета Внутренняя то

1/3T = 1/T -1

откуда T= 2/3 года

по третьему закону Кеплера

T^2=a^3 , Откуда a = 0.763 а.е.

Минимальное расстояние до Земли 0.237 а.е.

Минимальный случай первый 0.21 а.е.

Answer 2

Давайте разберемся в данной задаче. Синодический период планеты - это интервал между двумя последовательными одинаковыми положениями планеты относительно Солнца, когда планета и Земля находятся на одной линии. Сидерический период - это интервал между двумя последовательными полными оборотами планеты вокруг Солнца.

Пусть T_s - сидерический период планеты (время, за которое она совершает один полный оборот вокруг Солнца), а T_c - синодический период (время между двумя последовательными синодическими периодами). У нас дано, что T_c = 3 * T_s.

Для круговых орбит справедлива следующая формула, связывающая период обращения T, с расстоянием до центрального тела R: T = 2π * √(R^3 / GM), где G - гравитационная постоянная, M - масса центрального тела (в данном случае масса Солнца).

Теперь, чтобы найти минимальное расстояние, на котором планета может проходить от Земли, нужно рассмотреть случай, когда планета находится в точке оппозиции (находится на противоположной стороне Земли относительно Солнца).

В этом случае планета, Земля и Солнце будут находиться на одной прямой. Расстояние от Земли до планеты в этот момент будет минимальным и равно сумме радиусов орбит планеты и Земли.

Пусть R_p - радиус орбиты планеты, R_e - радиус орбиты Земли. Тогда минимальное расстояние D_min будет:

D_min = R_p + R_e.

Теперь остается только связать синодический и сидерический периоды планеты:

T_c = 3 * T_s.

Теперь можем выразить отношение радиусов орбит планеты и Земли:

(T_c/T_s) = √(R_p^3 / (R_e^3)).

Так как T_c = 3 * T_s:

3 = √(R_p^3 / (R_e^3)).

Теперь возводим в квадрат:

9 = R_p^3 / R_e^3.

Отсюда:

R_p^3 = 9 * R_e^3.

И, наконец, находим R_p:

R_p = (9 * R_e^3)^(1/3).

Теперь, когда у нас есть выражение для R_p, можем вычислить минимальное расстояние D_min:

D_min = R_p + R_e = (9 * R_e^3)^(1/3) + R_e.

Это выражение позволит нам определить минимальное расстояние, на котором планета может проходить от Земли, при условии круговых орбит.