Question

Чему равно расстояние до астероида, наблюдающегося с Земли в квадратуре, если он имеет круговую орбиту с большой полуосью a=4.5 а.е.? Ответ дайте в астрономических единицах, округлив до десятых.

Answer 1

Ответ:

4,4 а.е.

Объяснение:

По теореме Пифагора все решается, ведь квадратура, это явление, при котором Земля является вершиной прямого угла прямоугольного треугольника с вершинами на Солнце и теле, находящемся в квадратуре, в задаче это астероид. То есть гипотенуза - большая полуось астероида(4,7 а.е.), орбита Земли - катет (1.а.е.), а расстояние до астероида - второй катет.

Answer 2

Для определения расстояния до астероида, наблюдаемого с Земли в квадратуре (то есть в точке максимального удаления), можно воспользоваться законами Кеплера.

Если астероид имеет круговую орбиту, то его большая полуось (a) равна 4.5 астрономическим единицам (а.е.).

В случае круговой орбиты, квадрат периода обращения (T) пропорционален кубу большой полуоси (a^3). Формула связи между периодом обращения и большой полуосью:

\[ T^2 \propto a^3 \]

Также, для круговой орбиты, период обращения связан с расстоянием (r) от объекта до центра масс (например, от астероида до Солнца) следующим образом:

\[ T = 2\pi\sqrt{\frac{r^3}{GM}} \]

где: - \( T \) - период обращения, - \( r \) - расстояние от центра масс, - \( G \) - гравитационная постоянная, - \( M \) - масса центрального тела (в данном случае, масса Солнца).

Теперь, учитывая, что \( T^2 \propto a^3 \), мы можем записать:

\[ \frac{T_1^2}{T_2^2} = \frac{a_1^3}{a_2^3} \]

где индексы 1 и 2 относятся к двум разным положениям астероида на орбите (например, к квадратуре и оппозиции).

В квадратуре \( r_1 = a_1(1+e) \), где \( e \) - эксцентриситет орбиты. Для круговой орбиты \( e = 0 \), поэтому \( r_1 = a_1 \).

Теперь мы можем записать:

\[ \frac{T_1^2}{T_2^2} = \frac{r_1^3}{r_2^3} \]

Так как \( r_1 = a_1 \) и \( r_2 = a_2 \), мы получаем:

\[ \frac{T_1^2}{T_2^2} = \frac{a_1^3}{a_2^3} \]

Теперь мы можем подставить известные значения:

\[ \frac{T_{\text{квадратура}}^2}{T_{\text{оппозиция}}^2} = \frac{a_{\text{квадратура}}^3}{a_{\text{оппозиция}}^3} \]

\[ \frac{T_{\text{квадратура}}^2}{T_{\text{оппозиция}}^2} = \frac{4.5^3}{a_{\text{оппозиция}}^3} \]

Теперь можно решить это уравнение относительно \( a_{\text{оппозиция}} \). Округлим результат до десятых астрономических единиц.