Question

Синодический период планеты равен 600 суток. Найти большую полуось планеты.

Answer 1

Ответ:   Большая полуось орбиты планеты  ≈  0,728 а.е.

Объяснение:  Вначале надо заметить, что "большую полуось планеты" найти нельзя. В астрономии нет такого понятия. Есть понятие "большая полуось ОРБИТЫ планеты". Вот её и будем искать.

       Дано:

Синодический период обращения планеты  Тсин = 600 суток.

Найти большую полуось орбиты планеты Ап - ?

Вначале найдем сидерический период обращения планеты.

Так как синодический период обращения планеты равен 600 суток, то планета, относительно Земли, является внутренней. Для внутренней планеты её синодический и сидерический периоды связаны с сидерическим периодом обращения Земли соотношением:  1/Тсин = 1/Тсид – 1/Тз    здесь Тсин – синодический период обращения планеты = 600 суток; Тсид – сидерический период обращения планеты - надо найти; Тз – сидерический период обращения Земли  = 365 суток. Из этого соотношения

Тсид = Тз*Тсин/(Тсин + Тз) = 365*600/(600+365) = 226,94 суток.

Теперь можно найти большую полуось орбиты планеты.

По третьему закону Кеплера отношение квадратов периодов обращения планет вокруг Солнца равно отношению кубов больших полуосей орбит этих планет. Т.е. Тз²/Тп² = Аз³/Ап³, здесь Тз - сидерический период обращения Земли вокруг Солнца  = 365,25 суток; Тп - сидерический период обращения планеты = 226,94 суток; Аз - большая полуось орбиты Земли = 1 а.е.; Ап - большая полуось орбиты планеты – надо найти.             Из закона Кеплера

Ап³ = Аз³Тп²/Тз².                 Отсюда     Ап = ∛(Аз³Тп²/Тз²).

Подставив числовые значения параметров, имеем:

Ап = ∛(1³*226,94²/ 365,25²) = ∛(226,94/365,25)² ≈  0,728 а.е.

Answer 2

Синодический период планеты — это время, за которое планета возвращается к одному и тому же положению относительно Земли и Солнца. Синодический период зависит от сидерического периода планеты, то есть времени, за которое планета обходит Солнце по своей орбите, и сидерического периода Земли. Связь между этими величинами можно выразить формулой:

$$\frac{1}{S} = \frac{1}{T} - \frac{1}{T_\oplus}$$

где $S$ — синодический период планеты, $T$ — сидерический период планеты, $T_\oplus$ — сидерический период Земли.

Большая полуось орбиты планеты — это расстояние от центра Солнца до центра орбиты планеты. Большая полуось зависит от сидерического периода планеты по закону Кеплера:

$$T^2 = k a^3$$

где $T$ — сидерический период планеты, $a$ — большая полуось орбиты планеты, $k$ — постоянная, равная $k = 4 \pi^2 / GM_\odot$, где $G$ — гравитационная постоянная, $M_\odot$ — масса Солнца.

Известно, что синодический период планеты равен 600 суток. Найдём сидерический период планеты, подставив известные значения в первую формулу:

$$\frac{1}{600} = \frac{1}{T} - \frac{1}{365.25}$$

$$\frac{1}{T} = \frac{1}{600} + \frac{1}{365.25}$$

$$T = \frac{1}{\frac{1}{600} + \frac{1}{365.25}} \approx 414.6$$

Сидерический период планеты равен примерно 414.6 суток. Теперь найдём большую полуось орбиты планеты, подставив известные значения во вторую формулу:

$$414.6^2 = k a^3$$

$$a^3 = \frac{414.6^2}{k}$$

$$a = \sqrt[3]{\frac{414.6^2}{k}}$$

Значение постоянной $k$ можно найти из условия, что сидерический период Земли равен 365.25 суток, а большая полуось орбиты Земли равна 1 астрономической единице:

$$365.25^2 = k \cdot 1^3$$

$$k = 365.25^2$$

Подставим это значение в формулу для большой полуоси орбиты планеты:

$$a = \sqrt[3]{\frac{414.6^2}{365.25^2}} \approx 1.13$$

Большая полуось орбиты планеты равна примерно 1.13 астрономических единиц. Это значит, что планета находится дальше от Солнца, чем Земля, но ближе, чем Марс.