Question

Необходимо ответить на вопросы: 1. При наблюдении за планетой Венера с Земли установлено, что наибольшая восточная элонгация наступает через каждые 580 суток. Определите расстояние от Солнца до Венеры в астрономических единицах. 2. При наблюдении за планетой Марс с Земли установлено, что его противостояния наступают через каждые 780 суток. Определите расстояние от Солнца до Марса в астрономических единицах. *на фото задание и пример решения

Answer 1

Ответ: 1) Расстояние от Солнца до Венеры ≈ 0,722 а.е.

2) Расстояние от Солнца до Марса ≈ 1,5236 а.е.

Объяснение:    Интервал времени между двумя последовательными одинаковыми конфигурациями планеты называется синодическим периодом обращения.

1) Дано:

Синодический период обращения Венеры Тсин = 580 суток

Сидерический (звездный) период обращения Земли Тз = 365,25 суток.

Большая полуось орбиты Земли Аз = 1 а.е.

Найти большую полуось орбиты Венеры Ав - ?

Чтобы найти большую полуось орбиты Венеры прежде надо найти её сидерический (звездный) период обращения вокруг Солнца.  По отношению к Земле Венера является внутренней планетой, т.е. её орбита лежит внутри орбиты Земли.  Для внутренней планеты её синодический (Тсин) и сидерический (Тсид) периоды обращения связаны с сидерическим периодом обращения Земли (Тз) соотношением:  

 1/Тсин = 1/Тсид – 1/Тз.        Отсюда Тсид = Тз*Тсин/(Тз + Тсин) =

= 365,25*580/(365,25+580) ≈ 224,115 суток.

Теперь применим третий закон Кеплера. В соответствие с этим законом: отношение кубов больших полуосей орбит планет равно отношению квадратов периодов обращения планет вокруг Солнца. В нашем случае, имеем:  

                  Аз³/Ав³ = Тз²/Тсид².  

Из этого соотношения следует, что Ав³ = Аз³*Тсид²/Тз².  Отсюда Ав = ∛Аз³*Тсид²/Тз² = ∛1³*224,115²/365,25² ≈ 0,722 а.е.

2)  Дано:

Синодический период обращения Марса Тсин = 780 суток

Сидерический (звездный) период обращения Земли Тз = 365,25 суток.

Большая полуось орбиты Земли Аз = 1 а.е.

Найти большую полуось орбиты Марса Ам - ?

Так же как и в первой задаче  чтобы найти большую полуось орбиты Марса прежде надо найти его сидерический (звездный) период обращения вокруг Солнца.  По отношению к Земле Марс является внешней планетой, т.е. его орбита лежит снаружи орбиты Земли.  Для внешней планеты её синодический (Тсин) и сидерический (Тсид) периоды обращения связаны с сидерическим периодом обращения Земли (Тз) соотношением:    1/Тсин = 1/Тз – 1/Тсид.   Отсюда Тсид = Тсин*Тз/(Тсин - Тз) = 780*365,25/(780 - 365,25) ≈ 686,91 суток.

Теперь, так же как и в первой задаче, применим третий закон Кеплера:   Аз³/Ам³ = Тз²/Тсид².  

Из этого соотношения следует, что Ам³ = Аз³*Тсид²/Тз².  Отсюда Ам = ∛Аз³*Тсид²/Тз² = ∛1³686,91²/365,25² ≈ 1,5236 а.е.