Question

Какой падеж слова на ГРУДИ у меня лежал большой темный кот.

Answer 1

Предложный. 
На чём? - на груди.
Проверить можно подставив вместо неодушевленного одушевлённое. Т. е. Кот лежал (на ком?) на нём. Оба этих вопроса - "на ком" и "на чём" относятся к предложному падежу.

Answer 2

Предложный падеж(на чем?)

Answer 3

Чтобы определить падеж слова на груди, нужно задать вопрос к этому слову от главного слова в предложении. Главным словом в предложении "у меня лежал большой темный кот" является сказуемое "лежал". Задаем вопрос от сказуемого к слову "на груди": лежал на чём? Ответ: на груди. Этот вопрос соответствует предложному падежу. Предлог "на" также относится к предложному падежу. Значит, слово "на груди" стоит в предложном падеже.