Question

Исследовать функцию на монотонность и экстремумы а) y=x^2-2x^2

Answer 1

Общая схема для построения графиков функций

1. Найти область определения функции D(y).

2. Найти точки пересечения графика функций с осями координат.

3. Исследовать функцию на четность или нечетность.

4. Исследовать функцию на периодичность.

5. Найти промежутки монотонности и точки экстремума функции.

6. Найти промежутки выпуклости и точки перегиба функции.

7. Найти асимптоты функции.

8. По результатам исследования построить график .

Пример: Исследовать функцию и построить ее график: y = x3 – 3x

Решение:

1) Функция определена на всей числовой оси, т. е. ее область определения D(y) = (-∞; +∞).

2) Найдем точки пересечения с осями координат:

с осью ОХ : решим уравнение x3 – 3x = 0

.

с осью ОY: y(0) = 03 – 3*0 = 0

3) Выясним, не является ли функция четной или нечетной:

y(-x) = (-x)3 – 3(-x) = -x3 + 3x = - (x3 – 3x) = -y(x)

Отсюда следует, что функция является нечетной.

4) Функция непериодична.

5) Найдем промежутки монотонности и точки экстремума функции: y’ = 3x2 - 3.

Критические точки: 3x2 – 3 = 0, x2 =1, x= ±1.

Answer 2

Для исследования функции y = x^2 - 2x^2 на монотонность и экстремумы, мы должны проанализировать ее производную.

Производная функции y по x равна: y' = 2x - 4x = -2x.

1. Монотонность: Для определения монотонности функции, нужно рассмотреть знак производной на различных интервалах.

- Если производная отрицательна, то функция убывает. - Если производная положительна, то функция возрастает. - Если производная равна нулю, то функция имеет экстремум.

Исследуем знак производной на различных интервалах:

- Когда x < 0, производная y' = -2x положительна, поэтому функция возрастает на этом интервале. - Когда x > 0, производная y' = -2x отрицательна, поэтому функция убывает на этом интервале. - Когда x = 0, производная y' = -2x равна нулю, поэтому функция имеет экстремум в точке x = 0.

2. Экстремумы: Для определения экстремумов функции, нужно найти значения x, при которых производная равна нулю, и проверить их тип.

Уравнение производной равной нулю: -2x = 0. Решая это уравнение, получаем x = 0.

Подставим найденное значение x в исходную функцию: y(0) = 0^2 - 2(0)^2 = 0.

Таким образом, функция имеет экстремум в точке (0, 0), который является минимумом.

Итак, исследовав функцию y = x^2 - 2x^2 на монотонность и экстремумы, мы пришли к следующим выводам:

- Функция возрастает на интервале x < 0. - Функция убывает на интервале x > 0. - Функция имеет минимум в точке (0, 0).