Question

В треугольнике ABC угол С равен 90°, радиус вписанной окружности равен 3. Найдите площадь треугольника ABC, если AB = 15.

Answer 1

Ответ: 54

Объяснение:

Пусть A1, B1 и C1 — точки ка­са­ния впи­сан­ной окруж­но­сти со сто­ро­на­ми BC, AC и AB со­от­вет­ствен­но. Ра­ди­ус впи­сан­ной окруж­но­сти обо­зна­чим r. Тогда AC1 = AB1; BC1 = BA1 и CA1 = CB1 = r. Пе­ри­метр тре­уголь­ни­ка ABC равен

2AC1 + 2BC1 + 2CA1 = 2AB + 3r,

а его по­лу­пе­ри­метр p равен AB + r.

По фор­му­ле пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка на­хо­дим: S = p * r = (AB + r) * r = (15 + 3) * 3 = 18 * 3 = 54

Answer 2

Для начала найдем полупериметр треугольника ABC (половина суммы всех сторон):

$s = \frac{{AB + BC + AC}}{2}$

У нас известно, что $AB = 15$. Также, в прямоугольном треугольнике угол С прямой (равен 90°), так что можно воспользоваться теоремой Пифагора:

$AC^2 + BC^2 = AB^2$

$AC^2 + BC^2 = 15^2$

Так как у нас есть радиус вписанной окружности ($r = 3$), мы можем воспользоваться формулой для площади треугольника через радиус вписанной окружности и полупериметр:

$S = rs$

где $r$ - радиус вписанной окружности.

Мы можем найти радиус $r$ с помощью формулы:

$r = \frac{{S}}{{s}}$

Из площади $S$ можно выразить радиус $r$ и подставить в уравнение для площади треугольника:

$S = \frac{{S}}{{s}} \cdot s = \frac{{S \cdot s}}{{s}} = S$

Итак, площадь треугольника ABC не зависит от радиуса вписанной окружности и равна $S$, которую нужно найти через теорему Пифагора:

$AC^2 + BC^2 = 15^2$

После нахождения сторон $AC$ и $BC$ можно найти полупериметр $s$ и, наконец, площадь $S$ с использованием формулы $S = rs$, где $r = 3$.